二次函数中考常见题型小议

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1、二次函数中考常见题型小议何阳陕西省西安铁一中分校710000二次函数是初中数学课程中的难点问题，也是整个初中代数部分的精华。二次函数问题往往可以体现出函数思想、方程思想、不等式思想、数形结合思想、数学建模思想等，在中考中作为压轴题出现，对学牛的数学综合素养要求较高，题型变化比较丰富多样，是绝对的难点问题。因此木文总结了几种常见的二次函数的中考常见考察类型。一、二次函数中动点产生的图形存在性问题这种题型一般结合某些特殊四边形，如平行四边形、菱形、梯形等。不仅考察了二次函数的基木知识，也考察了学生对图形的掌握。例1：如图1,抛物线y=-x2+2

2、x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C,顶点为D。1.直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；2.连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF〃DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m。(1)用含m的代数式表示线段PF的长，并求幽当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？(2)设ABCF的面积为S,求S与m的函数关系。木题由浅入深，第一问首先考察函数图像上特殊点的求值，以及抛物线的基木性质一一对称性。第二问(如图1-2)在抛物线中加入动点问题，需要用函数解析式表示图像上的点的坐标

3、，用点的坐标表示线段的长。结合四边形的性质，引出关于平行四边形的存在性问题，实质上是考察平行四边形的判定方法，重点是根据DE=PF列出关于m的一元二次方程・m2+3m二乙求解得到答案。方程有解，说明平行四边形存在，方程无解，说明这样的平行四边形不存在。这一问也顺带考察了一元二次方程的思想。最后一问(如图1・3)考察学生对放置在平面直角坐标系中的某个图形的面积计算问题，可将三角形按照PF这条线段进行分割，形成两个同底不等高的三角形，进行面积求和，其间也涉及了平面直角坐标系中的动点引发的线段长度表示问题。二、三问要求学生对平面直角坐标系中动点涉

4、及的线段表示方法的掌握。二、抛物线的对称性与抛物线上动点涉及的线段长度最大值问题这种题型体现了数形结合思想，利用抛物线的轴对称性，结合考察“两点之间线段最短”这个几何原理，其间还涉及到二次函数求最大最小值问题，体现了配完全平方的思想。例2：如图2,已知点A(-l,0),B(3,0),C(0,t),且t>O,tan∠BAC=3,抛物线经过A、B、C三点，点P(2,m)是抛物线与直线I：y=k(x+1)的一个交点。1・求抛物线的解析式；2.对于动点Q(1,n)，求PQ+QB的最小值；3•若动点M在直线I上方的抛物线上运动，求AAM

5、P的边AP上的高h的最大值。本题目是一个基本题型，第一问通过三角函数确定点C坐标为(0,3),然后通过三个已知点A、B、C的坐标确定抛物线解析式，可以用一般式待定系数求解，也可以用交点式待定系数求解。第二问(如图2-2-1)涉及到动点和抛物线对称性的考察。由于点Q(1,n)在直线x二1上运动，而直线x=l恰好就是抛物线的对称轴，点B、点P都是定点，结合抛物线的轴对称性，可将QP+QB转化为QP+QA,根据“两点间线段最短”原理知：最小值在Q、A、P三点共线U寸取得(如图2-2-2)o第三问(如图2・3)综合性较强，继续考察二次函数图像上的动

6、点在移动中所带岀的线段长度最短问题，还涉及利用三角函数转化线段关系，以及二次函数配方求最值的思想。首先通过二次函数解析式确定点P坐标为（2,3）,根据A、P的坐标确定直线AP与x轴夹角为45°,特殊角度得：MN=2ME,从而MN的最大值转化为ME的最大值，M与E纵坐标之差即为ME长度，从而得：ME二（-X2+2X+3）・（x+1）=-x2+x+2=-（x-）2+。配方知ME最大值为，这吋MN最大值为2o三、几何建模从而涉及到的抛物线问题：这类题型考察难度最大，往往不直白的告诉学生考察二次函数，而要求学生在某些实际问题中自觉主动地将二

7、次函数作为一个数学工具，通过建立二次函数模型达到对实际问题的解决。这对于学生的数学综合素养要求最高，也是初中数学教学所追求的终极目标。例3：如图，正三角形ABC的边长为3+3o1.如图3,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在AC上。在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，做正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N',且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）；2.求1中作出的正方形E'F'P'N'的边长；3•如图4,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB±，点P、N分别在边CB、C

8、A上，求这两个正方形面积的最大值及最小值，并说明理由。本题综合性很强，三问逐层递进，多角度考察学生各类数学素养,体现了对图形的解析能力、画图能力以及数学建模思想、函数思想的考察。