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1、整式的乘法与除法数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力,启发人们向往理念的端倪,便于将灵魂从变化的世界转向真理的存在。——柏拉图《理想国》知识楸横指数运算律是整式乘除的基础,有以下四个:am•bn=am+n,(am)n=a,nt,(ab)n=ambn,am一an=am~n。学习指数运算律应注意:1.运算律成立的条件;2.运算律字母的意义:既可以表示一个数,也可以是一个单项式或者多项式;3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用。多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展,方法与多位数除以多位数的演算方法相似,基本步骤是:1.将被除式和除式按照某字母的降幕排列,如有缺项,要留空位;2.确定商式、
2、竖式演算式,同类项上下对齐;3•演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止。【例题1](1)把(x2-x+1)6展开后得anx[24-ajjX114-...4-tz2x2+ax+a0,则6Z
3、2+Q
4、0+^8+°6+°4+^2+°0~;(“祖冲之杯”邀请赛)(2)已知(兀+1)2(兀2—7)3=a。+Q[(兀+2)+込(兀+2)2+•.・+逐(兀+2)",则€7)—⑦+色—°4+色—+如二;(“祖冲之杯”邀请赛)思路点拨我们很难将相应多项式的展开式写出,因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的,事实上,上列等式在的X允许值范围内取任何一个值代入计算,等式都成立,考虑赋值法解。[例2
5、]已知25x=200Q80y=200Q则丄+丄等于()13A.2B.1C.丄D.三22(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨因x、y为指数,我们目前无法求出x、y的值,丄+丄=廿上,其实xyxy只需求出兀+y、小的值或他们的关系,自然想到指数运算律。[例3]已知x2+x=1,求〒+2x3-x2-2x+2005的值。(“华赛杯”邀请赛试题)思路点拨:恰当地运用条件,把高此项用低次多项式表示,如x2=1-x,x3=xx2=x(l—x)=x—x2=兀一(1—兀)=2x—1等。[例4]设Q、b、C、〃都是自然数,Utz5=bc3=da-c=l^d・b的值。(上海市普陀区竞赛题)思路点拨ila5
6、=b4=n^c3=d2=n6,这样b可用加的式子表示,c、d可用〃的式子表示,减少字母的个数,降低问题的难度。[例5]已知多项式+7x+b能被x2+x-2整除,求纟的值。b(北京市竞赛题)【例6】(1)在2004、2005、2006、2007这四个数中,不能表示为两个整数平方差是・(第10届江苏竞赛题)⑵已知(2000-a)错误!未找到引用源。(1998-a)=1999,那么,错误!未找到引用源。二.(重庆竞赛题)思路点拨:(1)错误!未找到引用源。,m+n,m-n的奇偶性相同,这是解本例题的基础。(2)视(2000-a)•(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式及其变形【
7、例7】(1)已知a、b、c满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则a+b+c的值等于().A.2B.3C.4D.5学力训练基础夯实(2)若a2/,=3,则2a6n-l=甲2.如图,甲类纸片是边长为2的正方形,乙类纸片是边长为1的正方形,丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形.现有甲类纸片1张,乙类纸片4张,则应至少取丙类纸片张才能用它们拼成一个新的正方形.(2011浙江省湖州市中考题)十□I乙3•满足(x-1)200>3300的x最小正整数为o(式汉市选拔赛试题)1.杨辉三角是一个由数字排列的三角形数表,一般形式如图所示,其中每一横行都表示(a+b)"
8、(此处n=0丄2,3,4,5,6)的展开式中的系数。杨辉三角最本质的特征是,它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。1121133114641151010511615201561(a+b)°=1(a+b)1=a+h(a+b)2=a2+2abJt-b~(a+b)3=a2+3a2b--3ab2+//(a+b)°=a4+4/b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5"+5咼+1+13戾+5ab4+b5(a+b)6=a6+6a5b+15a4h2+2(h3/?3+15a2b4+6ah5+ft6上图中的构成规律你看懂了吗?请你直接写出(a+b)7=o杨辉三角还有另一
9、个特征:(1)从第二行到第五行,每一行数字组成的数(如第三行为121)都是上一行的数与的积。(2)由此你可先写出1卩=o(3)由第行写出1F=o(第4届《时代学习报》数学文化节试题)5.化简2口+4—2(2")2(2,,+3A.2^-1B.-2曲;•一D.一84(”TI杯”全国初中数学赛试题)6.已知a=255,b=S44,c=533,d=622,那么a,b,c,d从小到大的顺序是()A.a