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《1997-09,13华东师大高等代数考研真题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题 一.（10分）计算下列行列式：11...1xx(−−1)xx(1)...xx(−1)1122nn222xx(−−1)xx(1)...xx(−1)1122nnMMMnn−−11n−1xx(−−1)xx(1)...xx(−1)1122nn⎛⎞5200−⎜⎟−2000'1−二.（15分）设A=⎜⎟，求正交矩阵T，使TATTAT=为对角形⎜⎟0052−⎜⎟⎝⎠0022−矩阵，并写出这个对角形矩阵.⎛⎞200⎜⎟三.(15分)设Aa=20是复矩阵.1.求出A的一切
2、可能的Jordan标准形；⎜⎟⎜⎟⎝⎠bc−12.给出A可对角化的一个充要条件.四.(15分)已知3阶实数矩阵A=()a满足条件aAij=(,=1,2,3)，其中A是aijijijijij⎛⎞⎛⎞x10⎜⎟⎜⎟的代数余子式，且a=−1，求：1.A2.方程组Ax=0的解.33⎜⎟⎜⎟2⎜⎟⎜⎟x1⎝⎠⎝⎠3五.（15分）证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根⇔存在一1个有理系数多项式f()x使得=f().αα六.（15分）设A是n阶反对称阵。证明：1.当n为奇数时
3、A
4、=0.当n为偶数时
5、A
6、是
7、一实数的完全平方;2.A的秩为偶数.七.（15分）设V是有限维欧氏空间.内积记为(,αβ).又Α设是V的一个正交变换。记VV=Α=∈=−{αααα
8、,,}V{αααΑ∈
9、V}，求证：121.VV,是v的子空间;2.VVV=⊕.1212八.（15分）设n阶实数方阵的特征值全是实数且A的所有1阶主子式之和为0，n2阶主子式之和也为0.求证：A=0九.（15分）设A，B均是正定矩阵，证明：1.方程λAB−=0的根均大于0；2.方程λAB−=0所有根等于1⇔A=B.1华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学
10、试题 一.（10分）计算下列行列式:nn−132−−222...2−22nn−133−−333...3−36MMMMnn−132nnnn−−...nnnn−−⎧axax++...+=ax01111221nn⎪⎪axax++...+=ax02112222nn二.(10分)证明：方程组⎨(1)的解全是方程............⎪⎪axax++...+=ax0⎩ss1122snnbxbx+++=...bx0(2)的解的充分必要条件是：β=(,...,)bbb可由向量组1122nn12nα,αα...,线性表
11、示，其中α==(αα,,...,α)(is1,2,...,).12sii12iin32三（15分）设f()x=+++xaxbxc是整系数多项式，证明：若ac+bc为奇数，则f(x)在有理数域上不可约.四（15分）设A是非奇异实对称矩阵，B是反对称实方阵。且AB=BA。证明：A+B必是非奇异的。五（15分）A为n阶方阵，f()
12、λ=λEA−
13、是A的特殊多项式。并令f()λf()λ'称为f()λ的一阶微商）。证明：A与一个对角矩阵相似g()λ=,（'((),())ffλλ的充要条件是gA()0.=*六（15
14、分）假设A是n维欧氏空间V的线性变换，Α是同一空间V的变换。且***对∀∈α,,βV有(,)(,)Α=Ααβαβ.证明：1Α是线性变换。2Α的核等于Α的值域的正交补。七（15分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。八（15分）设f(x)为数域P上多项式，且有f()xfxfx=12()(), ((),())1.fxfx12=又设D为P上N维线性空间。Α为V的一个线性变换。K为f()Α的核，ϖ1为f1()Α的核，ϖ2为f2()Α的核。证明：K=ϖ12⊕ϖ.九（15分）设ab+−1是n阶
15、实方阵A的任一特征值。ab,是实数。如Α+Α'的n11'个特征值是μ12,μμ,...,n。证明：必有minμi≤≤amaxμi（Α是A的转置矩阵）。22ii2华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题 一（15分）计算行列式：nn−−12L3210nn−−23L2101nn−−34L1012LLLLLLL10Lnnnn−−−−543201Lnnnn−−−−4321pp−−12二（15分）设P是一个素数，多项式fxx()=++++x...x1.证明：f()x在有理数域上不可约。⎛⎞11x⎛⎞000
16、三（15分）设⎜⎟与B=⎜010⎟相似，A=xy1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠11y⎜⎟⎝⎠002−1'（1）求xy,的值。（2）求一个正交矩阵T，使TATTATB==.''四（15分）设A是实矩阵，Α是A的转置矩阵，求证：（1）ΑΑ与A的秩相等。'（2）当A是满秩时，ΑΑ是正定的。五（20分）设A是n阶方阵，证明：(1）A的特征多项式f()x与A的最小多项式mx()的根相同。（2）若A的特征根互异，则mx()=fx()。六（20分）设V是数域F上任一
