Math_求函数的解析式

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1、第二单元函数3求函数的解析式1掌握求函数解析式的常用方法.（1）换元法或配凑法；（2）待定系数法；（3）构造方程法。2本节题型函数的解析式问题求下列函数的解析式：(1)已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x);(2)已知2f(x)+f(-x)=3x+2，求f(x).例1根据条件可灵活运用不同的方法求解.3(1)(方法一)待定系数法.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.又f(3x+1)=9x2-6x+5,所以9ax2+(

2、6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5,4比较两端的系数，得9a=96a+3b=-6，a+b+c=5所以f(x)=x2-4x+8.(方法二)换元法.令t=3x+1,则x=,代入f(3x+1)=9x2-6x+5中，得f(t)=9()2-6·+5=t2-4t+8,所以f(x)=x2-4x+8.a=1b=-4,c=8解得5（方法三）配凑法.因为f(3x+1)=(3x+1)2-4(3x+1)+8，所以f(x)=x2-4x+8.(2)直接列方程组求解.由2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x代换此式中的x,得2f(-x)+f(x)=-3x

3、+2,解方程组2f(x)+f(-x)=3x+22f(-x)+f(x)=-3x+2,得f(x)=3x+.6练一练：(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f（x）；（2）已知（3）已知f(x)满足2f(x)+=3x,求f(x).问题（1）由题设知f（x）为一次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x，，可用构造方程组法求解.思维启迪7函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁

4、.求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类型活，方法多.求函数的解析式常有以下几种方法：①如果已知函数f［f(x)］的表达时，可用换元法或配凑法求解；②如果已知函数的结构时，可用待定系数法求解；③如果所给式子含有f(x)、f()或f(x)、f(-x)等形式，可构造另一方程，通过解方程组求解.8解（1）设f（x）=ax+b（a≠0），则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-

5、1)=2x+17，求f（x）；9：换元法：配凑法（2）已知10（3）已知f(x)满足2f(x)+=3x,求f(x).11题型三分段函数问题f(x+2)(x≤-1)(1)已知函数f(x)=2x+2(-1

6、f[f(-2)]=f[f(0)]=f(2)=22-4=0.13(2)f(x)=-x+1(x<0)x-1(x≥0),则x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是.{x

7、x≤-1}2(2)①当x+1<0时，f(x+1)=-(x+1)+1=-x，则原不等式可化为x<-1x+(x+1)(-x)≤1,即x<-1;②当x+1≥0时，f(x+1)=(x+1)-1=x，则原不等式可化为x≥-1x+(x+1)x≤1,即-1≤x≤-1+.综合①②,得原不等式的解集为{x

8、x≤-1}.214(3)设则f[g(3)]=____,=_____.7解析∵g(3)=2,

9、∴f[g(3)]=f(2)=3×2+1=7，15①分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；②分段函数求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定解析式；③分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集.16已知函数对任意的实数a、b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值；(2)求证：f()+f(x)=0(x≠0);(3)若f(2)=m,f(3)=n(m、n均为常数)，求f(36)的值.本题是一个抽象函数问题，直接求函数的解析式是不可能的，需通过取特殊值来解决

10、.17(1)不妨设a=b=0.由f(ab)=f(a)+f(b),得f(0)=0.设a=b=1,得f(1)=0.(2)证明：当x≠0时，因为x·＝１，于是f(1)=f(x·)=f(x)+f()=0,所以f()