数学与应用数学毕业论文-特征值与特征向量的应用

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1、本科生毕业论文设计特征值与特征向量的应用作者姓名：卢超男指导教师：兰文华所在学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级（届）：2013届2班二〇一三年四月二十六日目录摘要1绪论21特征值和特征向量31.1特征值与特征向量的概念31.2特征值与特征向量的性质32矩阵的特征值和特征向量的求法42.1具体的数字矩阵42.2抽象的矩阵42.3相似矩阵52.4实对称矩阵63特征值和特征向量在生活中的应用83.1经济发展与环境污染的增长模型83.2莱斯利（Leslie）种群模型11参考文献18英文摘要19摘要特征值与特征向量是高等代数中一个重

2、要的部分，并在理论和学习及实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性与便捷性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.正文共划分为三个大部分，第一部分，是对特征值与特征向量概念、性质的充分总结。这是为了更好的利用定义和性质来解决相关的矩阵习题；第二部分，是具体的将矩阵分类，按照矩阵的类型与特征值和特征向量的性质进行匹配，具体的解决问题并有相关的例题。第三部分，是举出特征值与特征向量在生活的具体事例，来展示他的应用性。特征值与特征向量还有

3、很广泛的用途，本文只是对特征值与特征向量概念、性质，在数学矩阵与生活中的应用进行简短的研究归纳。关键词：特征值，特征向量，矩阵绪论在已有研究的基础上，该文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加简捷便利，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽例子的阐述和说明.该文重点介绍了对特征值与特征向量在不同类型矩阵中的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题

4、的一种很好而有效途径.该文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性得到了很大的展现。291特征值和特征向量1.1特征值与特征向量的概念定义1，设是数域上的线性空间Ｖ的一个线性变换，如果对于数域中的一数，存在一个非零向量，使得那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。定义2，设是n阶矩阵，若存在数及非零的n维列向量，使得成立，则称是矩阵特征值，称非零向量是矩阵属于特征值的特征向量。（注：特征向量是非零向量）行列

5、式称为矩阵的特征多项式。称为矩阵的特征方程。1.2特征值与特征向量的性质1）如果都是特征值所对应的特征向量，则的线性组合（非0时）仍是属于的特征向量。（注：该性质说明的特征向量不是唯一的，但反过来，一个特征向量只能属于一个特征值。）2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当时矩阵的k重特征值时，矩阵属于的线性无关的特征向量的个数不超过k个。（注：因A只有n个特征值，故A的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多有n个，并且若是矩阵A的不同特征值，分别为的特征向量，则与的线性组合不再是A的特征向量。）3）特征值的和等于矩阵主对角

6、线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A行列式的值，即4）n阶矩阵A和他的转置矩阵有相同的特征值。5）n阶矩阵A可逆的充分必要条件是，他的任一特征值均不等于零。6）若是矩阵A的特征值，则对任何正整数k,是的特征值。292矩阵的特征值和特征向量的求法2.1具体的数字矩阵对于具体的数字矩阵的步骤如下：1）先有具体的特征方程求出矩阵A的全部特征值（i=1,2,3,、、、n,）,其中可能有重根，2）对每个不同的特征值，分别解齐次方程组，3）求出方程组的基础解析（注：设，基础解析为、、、，则矩阵A属于特征值的全部特征向量为（其中，···是不全为

7、零的任意常数。）例1，求矩阵的特征值和特征向量？解：本题可以由特征方程，即当时，得当时，得当所以A的特征值是相应的特征向量分别是其中2.2抽象的矩阵抽象矩阵，要根据特征值与特征向量的定义及性质推导出特征值的取值。例2，设A是3阶矩阵，是3维线性无关的列向量，且29求矩阵A的特征值和特征向量。解：由知是A的特征值，是的特征向量。由已知条件，有记由线性无关，知矩阵P可逆，其中因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式所以矩阵A的特征值是-1，-1,0.对于矩阵B，所以矩阵B关于特征值的特征向量是若即那么矩阵A关于特征值的特征向量

8、是因此，分别是矩阵A关于特征值和的特征向量，（）。2.3相似矩阵定义1：设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P，使则矩阵A与B相似，记29利用特征值和特征向量解决矩阵的相似对角化，其解题步骤：第一歩，先求出矩阵A的特征值：第二步，再求出所对应的线性无