由联合分布求边缘分布的技巧

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1、2006年水木艾迪考研辅导班考研数学三十六技教务电话：62701055网管电话：62780661-433____________________________________________________________________________________________三十六技之三十二技：联合分布定边缘，独立判断就搞定，连续离散有类比，一维多维对应记，二维连续画区域，分布概率直接求，二维正态看参数，均匀分布望面积。【相关知识点】Æ由联合分布求边缘分布的技巧，判断独立性；Æ由联合分布求概率；Æ多个随机变量（独

2、立或相关）的函数（线性组合、积、商、最值等）的分布求法—直接法；Æ独立分布的可加性问题；Æ二维正态分布的相关问题例题●独立性判断与二维连续型随机变量的概率求法P{(X,Y)∈A}=∫∫f(x,y)dxdyA例32-1.设随机变量(,XY)的联合概率密度为−y⎧Cxe,0

3、立？说明其理由；（3）求概率PXY(+<1)与条件概率PX(1<

4、2Y=)；（4）求X与Y的相关系数；2（5）试求常数a,b,使E(Y−[aX+b])取到最小值,并求出此最小值。清华大学刘坤林水木艾迪网址:www.tsinghuatutor.com清华大学东门外创业大厦100612006年水木艾迪考研辅导班考研数学三十六技教务电话：62701055网管电话：62780661-433_________________________________________________________________________

5、___________________∞nx−−1（注：计算时可以直接利用积分∫xedxn=(1−)!，其中为自然数）n0【解】（1）C=1。（2）X与Y不独立。121−x−y−1−1（3）PX(1+<=Y)(∫∫fxydxdy,)＝∫∫dxxedy=1−−e2e。xy+<10x1x1PX(1<===

6、2Y)∫dx。240CovXY(,)EXY−−EXEY8232×6（4）ρ=====XY,DXDYDXDY23×63CovXY(,)22(5)当a===1，bE=Ya−=EX321−=时，E(Y−[aX+b])取到最小DX22

7、2值，最小值为DY(1−ρ)=−=3(1)1。XY,3⎧,10

8、,0其它其中

9、α

10、≤1，试求（1）(X,Y)的边缘密度函数f(x),f(y)；XY（2）U=X−Y的密度；3（3）E[(X−Y)].清华大学刘坤林水木艾迪网址:www.tsinghuatutor.com清华大学东门外创业大厦100622006年水木艾迪考研辅导班考研数学三十六技教务电话：62701055网管电话：62780661-433____________________________________________________________________________________________【解】X

11、与Y的边缘分布相同，均为（0，1）上的均匀分布；3⎧αu⎪1(+)+1(+α)u−2α,−1

12、(λ),Y~Ex(λ)，试证明X+Y~Γ(2,λ).例32-6.用两个独立的同类设备分别组成串联、并联及备用（也即冷储备）系统.如此类设备的寿命为参数是λ(>0)的指数分布.(I)试分别求三个系统在t0>0前失效的概率.(II)试分别求三个系统的期望寿命（平均寿命）【解】(I)串联系统所求