第9章判别分析和聚类分析

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1、第9章判别分析和聚类分析§9.1判别分析问题的一般形式在生产、科研和日常生活中，我们经常会遇到判别分类的问题。在这些问题中，已经知道研究对象可以分为几个类别，而且对这些类别已经作了一些观测，取得了一批样本数据。要求从已知的样本观测数据出发，建立一种判别方法，当我们取得一个新的样品时，可以根据这个样品的观测值，判定它属于哪一类，这种做法就称为判别分析（DiscriminantAnalysis）。例1岩石分类从某矿床取得14块已知是铀矿石的样品和14块已知是围岩的样品，分别测定其中7种成分的含量，取得了一批观测数据：已知类别样品编号铀矿石10.00490.488

2、0.220.00984.0713.9761.6220.00300.1140.070.00771.5111.4769.69140.00290.2320.030.00901.8313.3566.96围岩150.00230.01340.140.00651.3911.8873.58160.00190.00990.100.00821.5313.8965.93280.00140.01460.030.00731.8712.7965.85要求建立一种判别方法，当我们从这个矿床取得一个新的岩石样品时，可以通过测定这个样品中7种成分的含量，判定它是铀矿石还是围岩。例2精神病的诊

3、断（Rao和Slater，1949）对114个处于焦虑状态的病人，33个患癔病的病人，32个有精神变态的病人，17个有强迫观念的病人，5个有变态人格的病人，以及55个正常人，分别进行3种精神病测试，得到测试分数，和。要求根据上述已知的测试数据，建立一种诊断方法，使得我们可以对一个新来的求诊者进行这3种精神病测试，根据测试得到的分数，和，判断出求诊者是否正常，如果不正常，诊断出他患有哪一类精神病。例3（全国数学建模竞赛2000年A题）DNA序列分类对于A,B两种不同的DNA，给出了20个类别已知的DNA序列样品，其中1号～10号序列属于A类，11号～20号序列

4、属于B类。另外还有20个类别未知的DNA序列样品。要求建立一种判别方法，判别出类别未知的DNA序列样品属于哪一类。２０９由此可以归纳出判别分析问题的一般形式：设有个已知的类别：，对各个类别分别取样，共得到个样品，已知其中有个属于，个属于，…，个属于。对每一个样品进行观测检验，得到个变量的观测值，，：已知类别样品个数样品编号变量变量…变量…………要求建立一种判别方法，当我们取得一个新的样品时，可以对这个样品进行观测检验，测得个变量的观测值，根据观测值判定它属于哪一类。§9.2一些常用的判别分析方法9.2.1距离判别设有一个要判别类型的样品，是对这个样品的个变量

5、测得的观测值，。定义一种从样品到第类的距离，。例如，可以定义它是普通的几何距离（欧氏距离），２０９其中是已知属于的样品的样本均值向量，。也可以定义它是Mahalanobis距离（马氏距离），其中是已知属于的样品的样本协方差矩阵，。对各类，比较到各类距离的大小，到哪一类的距离最近，就将这个样品判别为哪一类。9.2.2Fisher（费歇,费希尔）判别设是观测值数据矩阵,,,。是对角块为的矩阵。是矩阵的最大特征值对应的特征向量。设要判别类型的样品观测值为，计算下列判别函数值。对类的样本均值，也计算判别函数值，。比较距离的大小，到哪一类的距离最近，就将这个样品判别为

6、哪一类。Fisher判别的基本思想是：在空间作一条方向为的直线，把待判样品和各类的样本均值都投影到这条直线上，得到投影和。看投影之间的距离，２０９到哪一个的距离最近，就将样品判别为哪一类。可以证明，按上述方法求出的投影方向，从某种意义上说，是能够最好地将各类别区分开来的方向。9.2.3回归判别把类别已知的样本观测值作为自变量的观测值。对每一类，人为地给定一个因变量，设它的观测值为，，,。从这些数据出发，通过回归分析，对每一类建立一个线性回归方程：,。将待判别的样品的观测值代入各个回归方程，求出因变量的估计值，看哪一个最接近1，就把这个样品判别为哪一类。特别，

7、如果，只有两类，则只需要对第1类建立一个线性回归方程。将代入回归方程，求出，如果，就把这个样品判别为第1类，如果，就把这个样品判别为第2类。除了上面介绍的几种判别分析方法以外，最常用的、相对来说更好的一种判别方法是Bayes判别。２０９