高等数学(1)2习题册9章答案

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1、第九章多元函数微分法及其应用第5次课多元函数的基本概念1.设,求.解：设，,可得可得2.求下列函数的定义域：（１）　　　　　　　　　　　（2）解：定义域为定义域为（3）；（4）；3.求下列各极限：（１）　　　　　　　　　（2）===1===（3）；(4)========0(5)(6)====2(7)(8)==0=14．讨论下列极限是否存在：（1）（2）取取原式原式极限随k变化而变化无极限极限随k变化而变化无极限（3）（4）取沿，=沿，极限随k变化而变化无极限无极限5．求下列函数的间断点：（1）（2）提高题：求以下函数的

2、极限：（1）（2）令=第6次课偏导数全微分及其应用1．求下列函数的偏导数：（1）（2）(3)（4）（5）（6）（7）(8)利用指数求导法（9）（10）2．设，求．3．曲线在处的切线对轴的倾角是多少？即4．试求下列函数的二阶偏导数，和：（1）(2)（3）(4)5．设．解同理故6．求下列函数的全微分：（1）（2）；（3）．（4）（5）(6)(7)7．求在处的全微分．f在（1，2，3）处的全微分为提高题：1．设，求在处的所有二阶偏导数．解：当时，2．判别函数在点处是否可微分.解：则易得该极限不存在，从而函数在（0,0）点不可

3、微第7次课复合函数求偏导数隐函数求导1．设，而，求．2．设，而，，求．3．设，而，求．4．f具有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数：（1）（2）解：解：（3）（4）解：解：5．，其中可导，证明：．证明：依题意故6．已知，求（其中有二阶连续偏导数）．解：，7．设,其中具有二阶连续偏导数,求，.解：8．设（），求．解：两边同时取对数得9．设，求．解：令则故10．设，求，．解：令则故11．已知，求．解：令则12．求由方程所确定的函数的全微分．解：令则故13．设由方程确定，其中具有连续偏导数，求.解：所以14．设，求.解：

4、令则提高题：1．求下列函数的二阶偏导数（其中具有二阶连续偏导数）：（1）设，求和；（1）设，求和．2．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1），求，．解：等式两边同时对x求导得利用克莱姆法则解方程组可得（2），其中具有一阶连续偏导数，求．3．设由和是确定，其中可导，可导，求．第8次课多元函数微分法的几何应用1．求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）曲线，，在点．切线方程法平面方程（2）曲线，在点．切线方程法平面方程（3）曲线在点．解：由得由得故故所求切线方程为法平面方程2．求曲线在与相应的点处的切线

5、及法平面方程．切线方程法平面方程3．求曲线在点处的切线及法平面方程．切线方程法平面方程4．曲线上的点，使该点处切线平行于平面．解：由题意得即，故所求点为（-1，1，-1）5．求下列曲面在指定点处的切平面方程和法线方程：（1），在点．解：设则故故所求切平面为法线方程为（2），在点．解：设则故故所求切平面方程为法线方程6．求椭球面上平行于平面的切平面方程．解：设则设椭球面上点依题意即又该点在椭球面上，有则切平面方程为或提高题：1．求的切平面，使其垂直于平面和．解：设切点为，则过该点的切平面的法向量为又由题意也为该切平面的法

6、向量故有而，可得，，或，，从而切平面方程为或2．证明：曲面（）上任何点的切平面在三个坐标轴上的截距之和等于．证明：设曲面上任一点为，则该点处的切平面方程易得为令得横截距为同理可得纵截距和竖截距分别为又则切平面三个截距之和为第9次课方向导数与梯度1．求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数：（1）求在点处沿从点到点的方向的方向导数．（2）函数在点处沿由点到点的方向．方向导数为（3）函数在点处沿的方向导数．2．求函数在抛物线上点处沿这抛物线切线方向（该方向与轴正向夹角为锐角）的方向导数．解：平面曲线的参数方程为易得曲线在点

7、M处与x轴正向夹角为锐角的切向量为则又3．求在点处沿方向角方向的方向导数．4．求函数在曲线在点处切线正方向（对应参数增加的方向）的方向导数．5．设函数，求．6．求函数在点处的梯度，并证明梯度垂直于过点的等值线．在处的等值线为其在（1，2）处的法向量为（2，4），与梯度方向相同，所以梯度垂直于等值线。第10次课多元函数的极值1．判断题：（1）梯度的方向是函数值增加最快的方向．（√）（2）函数在某一点的方向导数的最大值等于函数在该点处的梯度的模．（√）（3）函数在驻点处沿轴正向的方向导数等于零．（√）（4）函数在驻点处沿轴

8、正向的方向导数也等于零．（√）（5）极值点一定是驻点．（×）（1）驻点一定是极值点．（×）（2）最大值点一定是极大值点．（×）（3）最小值点一定是极小值点．（×）2．求以下函数的极值：（1）；解：方程组驻点（1，-1）在点（1，-1）处A=-2,B=0,C=-2,,而故函数在（1，-1）处取得极大值2。（2）；解：驻点（0，0），