平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积

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1、第三节　平面向量的数量积1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量___________叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为_____.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度

2、a

3、与b在a方向上的投影____________的乘积．

4、a

5、

6、b

7、cosθ0

8、b

9、cosθ2．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝___________＝____________．λ∈R；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.λ(a·b)a·(λb)3．平面向量数量积的性质设非零向量a＝(x

10、1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．x1x2＋y1y2＝01．向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？【提示】a·b＝

11、a

12、·

13、b

14、·cosθ，当a与b为非零向量时，a·b的符号由夹角的余弦来确定；当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.2．如何用非零向量的数量积证明向量平行与垂直？【提示】

15、a·b

16、＝

17、a

18、

19、b

20、⇒a∥b；a·b＝0⇒a⊥b.平面向量数量积的概念与运算平面向量数量积的概念与运算向量的夹角与模向量的夹角与模1．(1)在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量的数量积，注意避免错用公式．如a·b＝

21、a

22、

23、b

24、和

25、

26、a·b

27、＝

28、a

29、

30、b

31、都是错误的．(2)①研究向量的夹角应注意“共起点”；②两个非零共线向量的夹角是0°(方向相同)或180°(方向相反)．2．(1)求两向量的夹角，进而确定两直线的夹角．(2)求向量的长度，进而可解决平面上两点间的距离，求线段的长度问题．平面向量的垂直(2011·课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.【思路点拨】利用向量垂直的充要条件，建立关于k的方程，进而解方程求k的值．平面向量的垂直【尝试解答】∵a，b是单位向量，∴

32、a

33、＝

34、b

35、＝1.又ka－b与a＋b垂直，

36、∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ为a与b的夹角)∴(k－1)(1＋cosθ)＝0，又a与b不共线，∴cosθ≠－1，∴k＝1.【答案】11．(1)非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔

37、a＋b

38、＝

39、a－b

40、⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)本题常见的错误是不能利用条件判定a·b≠－1，导致求解受阻．2．(1)a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0时，a·b＝0，但不能说a⊥b.这一点与向量共线不同．(2)a⊥b⇔a·b＝0，体现了“形”与

41、“数”的转化，用之可解决几何问题中的线线垂直问题．向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题；解答题以向量为载体，常与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想．【答案】A易错提示：(1)数形结合意识不强，难以入手，盲目求解，无果而终．(2)在△AOB的边角计算中，运算能力差，导致计算错误．防范措施：(1)树立数形结合意识，向量是数形结合的载体，解答本题的关键在于将向量a，b，c的起点平移至同一点O，根据题设条件，得到A，O，B，C四点共圆．(2)

42、重视平面向量的工具性作用，加强向量与几何、三角交汇问题的训练．1．(2011·广东高考)若向量a,b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0【解析】∵a⊥c，∴a·c＝0，又∵a∥b，则设b＝λa，∴c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0.【答案】D2．(2011·安徽高考)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且

43、a

44、＝1，

45、b

46、＝2，则a与b的夹角为________．