辨析貌似而质异的问题

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1、万方数据中学数学杂志2009年第1期辨析“貌似"而“磺舁"的问题湖北省荆州市江陵中学434020王朝璇(特级教师)在教学的过程中，我们往往会引导学生把同一类型的题目进行归类，做到“多题一解”，使其知识融会贯通．但是值得注意的是，在归类时，我们还要引导学生对“貌似”而“质异”的问题进行辨析，使学生避免由于生搬硬套导致的解题失误，能够选取正确的方法解决问题．1辨析函数单调和数列单调的问题例1(1)设函数八石)=∥+h在[1，+∞)上是单调递增函数，求k的取值范围．(2)若数列{口。}的通项公式为fi。=n2+

2、矗n，且满足‰一3．二辨析与感悟乍看，两道题似乎一样，我们注意寻求它们的“异”，题(1)的图象是连续的，题(2)的图象是离散的，两道题都可利用二次函数的图象求解，都是考虑对称轴和区间的关系，但是，其区间是不同的．对于(2)，还可以用恒不等式的观点来解：依题意有n2+kn<(n+1)2+后(，l+1)，即k>一2n一1恒成立，故J

3、

4、}>一3．2辨析恒成立和存在的问题例2已知函数八并)=【2sin(省+詈)+si姒】’COT一,8si．2算．戈∈IL当2粕+子=7百,11"，即‰=老时以聋)取得最小值一1；当2‰+詈=詈，即‰=詈时以菇)取得最大值1．、(1)使不等式八戈。)

5、这两个不同的概念，将此题的要求错误地理解为恒成立，而按照题(1)的解答写出结论．要注意两个不同的充要条件，题(1)是m大于以‰)的最大值，而题(2)是m大于八石。)的最小值．。例3已知口>1，在茗∈[2，+∞)时，函数以戈)=log。(菇2一fix+2)的值恒为正．(1)求口的取值范围；(2)记(1)中口的取值范围为集合A，函数g(算)=l092(tx2+2x+2)的定义域为集合曰．①若AcB，求实数t的取值范围；②若AnB≠咖，求实数t的取值范围．解(1)由题设有菇2一甜+2>l在菇E[2，+∞)时恒成

6、立，即o<戈+一1在石∈[2，+∞)时恒成立．又函数r(x)=筇+上在菇∈[2，+∞)时为增函数，故F(名)的最小值为÷，从而l<口<÷．(1)若名。E[手，老】时，不等式八‰)①若ACB，则舻+2戈+2>o在戈∈(1，吾)时恒成立，即>：一≯

7、2t一詈在x∈(1，妻2)时恒成立，当恒成立，即>一1一三在x∈f，三l时恒成立，当X。X、’，舅E(·，寻)时，有÷∈(詈，·)，则—72—i2=一2(÷+÷)2+÷∈(一4，一筹)，故t≥一碧‘∈n，L+％<％使要矿一4—2、ll-，后一2．+2n一，●●、≥=七B得№解他万方数据中学数学杂志2009年第1期②若AnB≠母，则∥+2x+2>0有属于A的解，由①的解答有t>一4．辨析与感悟注意两题的区别，对于题①，是恒不等式问题，t>一≯2一i2在舅∈(1，寻)时恒成立，即要大于一72一i2t在菇∈(1

8、，妻2)时的最大值．立，即要大于—了一一在菇∈f，；}时的最大值．髫‘算、，对于题②，是存在性问题，。>一≯2一i2，只需要￡大于一≯2一吾在戈∈(1，吾)时的最小值．3辨析三角iti数的单调区间问题例4(1)求函数人z)=sin(2戈一手)(茗∈(O，霄))的单调增区间．(2)求函数八戈)=sin(一2x+了fir)(髫∈(o，叮r))的单调增区间．解(1)因为函数八石)=sinx的单调增区间为【一号+2k,rr，詈+2k宵】(】i}童z)，所以一号+2丘霄≤2菇一手≤虿,IT+2k-tr，解得一瓦'I

9、t+尼耳≤茗≤鲁+后1r(

10、

11、}∈z)，又因为戈∈(o，叮r)，所以函数火z)的单调增区间为(o，警】和【警，盯)．(2状石)=sin(一2x+寻)=一sin(2算一詈)，即求sin(2z一詈)的单调递减区间，因为函数以髫)=si砒的单调减区间为[詈+2k僭r,擎+2七1r】(J

12、}∈z)，所以号+2h≤2髫一詈≤擎+2k霄，解得卺+k叮r≤菇≤等≠+Ii}叮r(I

13、}Ez)，Y．IR为算∈(o，百)，所以函数，(舅)的单调增