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1、第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数三年3考高考指数:★★1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.4.理解同角三角函数的基本关系式：1.三角函数的定义及应用是本节的考查重点.2.同角三角函数关系式常用来化简、求值,常与其他三角函数知识相结合考查，是高考的热点.3.主要以选择题、填空题的形式考查，难度不大，属低档题.1.角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的从一个位置到另一个位置所成的图形.（2）分类：、、.（3）终边相同的角：与角α终边相同的角可构成集合S={β
2、β=α+_____
3、__________}.端点旋转正角负角零角k·360°,k∈Z【即时应用】(1)思考：角α为锐角是角α为第一象限角的什么条件？提示：充分不必要条件.因为锐角为大于0小于的角，而第一象限角的范围为（2kπ，2kπ+）（k∈Z）.(2)若α是第二象限角，判断下列表述是否正确.（请在括号内填“√”或“×”）①{α
4、α=k·360°+45°，k∈Z}()②{α
5、90°＜α＜180°}()③{α
6、k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z}()④{α
7、α=k·180°+135°,k∈Z}()【解析】①α=k·360°+45°，k∈Z表示的是与45°终边相同的角，是第一象限的角
8、，故不正确.②90°＜α＜180°,不能表示所有第二象限的角，故不正确.③正确.④α=k·180°+135°表示的是当k为偶数时，与135°终边相同的角；当k为奇数时，与315°终边相同的角，不能表示第二象限的角，故不正确.答案：①×②×③√④×2.弧度的定义和公式（1）定义：长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.（2）公式：半径长角的弧度数公式=_____（弧长用l表示）角度与弧度的换算①1°=______rad弧长公式弧长l=_______扇形面积公式S=_____=_______②1rad=(______)°【即时应用】(1)337°30′的弧度数是____
9、______.(2)的度数为__________.(3)扇形半径为45，圆心角为120°，则弧长为__________.【解析】（1）337°30′表示的弧度数为(2)的度数为=75°.(3)圆心角120°的弧度数为，故弧长l=×45=30π.答案：(1)（2）75°（3）30π3.任意角的三角函数（1）定义：设角α终边与单位圆交于P(x,y)，则sinα=，cosα=，tanα=.(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的，______和.yx正弦线
10、余弦线正切线yxOxxA(1,0)PTMyxOPTA(1,0)MyOPTA(1,0)MOyPTA(1,0)M(3)诱导公式（一）：sin(α+k·2π)=；cos(α+k·2π)=；tan(α+k·2π)=.(k∈Z)(4)同角三角函数的基本关系：①平方关系:,②商数关系:.sinαcosαtanαsin2α+cos2α=1tanα=【即时应用】(1)已知角α终边上一点A(2,2)，则tanα=________.(2)若tanα=2，则=________.【解析】（1）tanα===1.（2）∵=，又∵tanα=2，∴答案：(1)1(2)弧度制的应用【方法点睛】弧度制的应用(1)引
11、进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r
12、α
13、，扇形面积公式：S=lr=r2
14、α
15、，求弧长和扇形的面积.(2)应用上述公式时,要先把角统一用弧度制表示.利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便.【提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一.【例1】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.（1）若α=60°，R=10cm,求扇形的弧长l.（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α=，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.【解题指南】（1）可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.（2）可用弧长或半径表示
16、出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α.（3）利用S弓=S扇-S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积.【规范解答】（1）l=10×=（cm）.(2)由已知得：l+2R=20,所以S=lR=（20-2R）R=10R-R2=-(R-5)2+25，所以R=5时，S取得最大值25，此时l=10，α=2rad.（3）设弓形面积为S弓.由题知l=cm，S弓=S扇-S△=××2-×22×sin=(-)(cm2).【互动探究】将本例第（1）小题中的R=10
