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1、第九节 函数与方程三年12考 高考指数:★★★1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点.2.常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想.3.题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式出现，属中、高档题.1.函数的零点(1)定义：若实数x是函数y=f(x)的零点，则需满足条件______.(2)三个等价关系：f(x)=0f(x)=
2、0有实数解f(x）的图象与x轴有交点f(x)有零点【即时应用】(1)函数f(x)=x3-x的零点是______.(2)函数的零点个数是______.【解析】(1)令f(x)=0，即x3-x=0解得x=0,1,-1,∴f(x)的零点为-1，0，1.(2)由等价关系，零点个数转化为方程的根的个数即又转化为函数y=lgx与图象交点个数，由图象得：有一个交点.答案：(1)-1，0，1(2)1xyo1-1-1y=lgx2.函数零点的存在性定理条件结论函数y=f（x）在上y=f(x)在(a,b)内有零点(1)图象是连续不断的(2)f(a)·f(b
3、)<0【即时应用】(1)若函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象为连续不断的一条曲线，判断下列命题是否正确(请在括号中填写“√”或“×”)①若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0()②若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0()③若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0()④若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0()(2)请思考在定理的条件下，当f(x)是______时，在区间(a,b)内f(x)有唯一的一
4、个零点.(3)已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最短区间为______.(区间端点为整数)(4)函数f(x)=mx-1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是______.【解析】(1)如图甲的情况可判断①错③正确，如图乙的情况可判断②不正确，由零点存在性定理可知④不正确.(2)由零点存在性定理容易判断f(x)是单调函数即可.(3)由于f(0)=-1<0，f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0,故只有区间(1，2)满足.(4)由f(0)f(1)<0,得(-1)·(m-1
5、)<0，∴m>1.答案：(1)①×②×③√④×(2)单调函数(3)(1，2)(4)m>13.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系△>0△=0△<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点零点(x1,0),(x2,0）(x1,0)无交点x1,x2x1无xyox1x2xyoxyox1=x2【即时应用】(1)若二次函数f(x)=ax2+bx+c中，a·c<0,则其零点个数是______.(2)若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点，则实数a的取值范围是______.【解析】(1)∵c=f(0),∴a·
6、c=a·f(0)<0,即a和f(0)异号，即或∴函数必有两个零点.(2)当a=0时，则f(x)=-x-1,易知函数只有一个零点.当a≠0时，则函数为二次函数，仅有一个零点，即Δ=1+4a=0,综上，当a=0或时，函数只有一个零点.答案：(1)2(2){a
7、a=0或}4.二分法(1)二分法的定义①满足的条件：在区间［a,b］上_________的函数y=f(x)在区间端点的函数值满足：____________.②操作过程：把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点的近似值.连续不断
8、f(a)·f(b)<0一分为二零点(2)用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间［a,b］,验证_____________,给定精确度ε;第二步：求区间(a,b)的中点c;第三步:计算f(c)；①若f(c)=0,则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));③若f(c)·f(b)＜0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).第四步：判断是否达到精确度ε：即若
9、a-b
10、＜ε,则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步.f(a)·f(b)＜0【即时应用】(1)已知f(x)=x3+x2
11、-2x-2,f(1)·f(2)<0,用二分法求f(x)在(1，2)内的零点时，第一步是______.(2)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间［2，3］内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是__
