《简明线性代数》复习

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1、线性代数复习课一、内容提要二、典型例题>>>一、内容提要行列式的性质性质2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质1行列式与它的转置行列式相等.性质4对换两行,行列式值反号.性质3若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质6把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.性质5若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.设A,B为n阶矩阵,则有

2、AB

3、=

4、A

5、

6、B

7、.一、内容提要Laplace[按行列展开]定理行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即设A=(

8、aij)为n阶方阵,则有一、内容提要伴随阵设A为n阶方阵,Aij为(i,j)元的代数余子式,记称A为方阵A的[转置]伴随阵.伴随阵的性质设A为n阶方阵A的伴随阵,则有如果

9、A

10、0,那么,称方阵A为非奇异矩阵.逆阵计算公式非奇异矩阵A的逆阵为逆矩阵如果存在矩阵B,使AB=BA=E那么,称方阵A为可逆的,并称B为A的逆矩阵.定理设A,B为n阶方阵,若AB=E,则A,B可逆,且有一、内容提要逆矩阵的性质设A,B为n阶可逆矩阵,则有一、内容提要分块对角阵的性质(3)A可逆的充分必要条件是Ai(i=1,…,s)都可逆,且有一、内容提要设Ai(i=1,…,s)都是方阵,设A

11、,B都是方阵,则有矩阵A与B行等价的充要条件是:存在可逆矩阵P,使B=PA.矩阵A与B列等价的充要条件是:存在可逆矩阵Q,使B=AQ.具体地有一、内容提要等价矩阵如果矩阵A经过有限次初等(行,列)变换,化为矩阵B,就称矩阵A与B(行,列)等价,记为A～B.行最简形矩阵行阶梯形矩阵一、内容提要矩阵的秩一、内容提要如果矩阵A的等价标准形为那么称F中单位阵的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).性质1等价矩阵有相等的秩.性质2性质4性质3n阶方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质5矩阵的秩一、内容提要如果矩阵A的等价标准形为那么称F中单位阵

12、的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).性质7性质8性质9若则性质6逆矩阵的初等变换求法矩阵初等变换的应用线性方程组的最简形解法将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.矩阵方程AX=B,XA=B的初等变换解法一、内容提要(1)当R(A,b)>R(A)时,方程组无解;(2)当R(A,b)=R(A)=n时,方程组有唯一解;(3)当R(A,b)=R(A)

13、解的充要条件是

14、A

15、=0.一、内容提要齐次通解结构定理设n元齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为x1,…,xn-r,其中r=R(A),则Ax=0的通解为(k1,…,kn-r为任意数)非齐次通解结构定理(k1,…,kn-r为任意数)设x=h是n元非齐次线性方程组Ax=b的一个解(称特解),x1,…,xn-r是导出组Ax=0的一个基础解系,则Ax=b的通解为一、内容提要一、内容提要线性组合设有向量组及向量如果存在一组数使那么,称向量b为向量组的一个线性组合,称向量b可由向量组并线性表示.设矩阵则线性方程组Ax=b有一组解等价于线性相关性设有向量组如果存在一组不全为0的

16、数使那么,称线性相关.否则,称线性无关.基本性质一、内容提要(1)若向量b可由向量组a1,…,am线性表示,则向量组b,a1,…,am线性相关.(2)若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关.(3)若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关.定理线性相关性设有向量组如果存在一组不全为0的数使那么,称线性相关.否则,称线性无关.一、内容提要向量组线性无关的充分必要条件是a1,…,am线性无关,也即向量方程只有零解.向量组的秩设A为一向量组,A中线性无关向量组所含向量个数的最大值r,称为向量组A的秩,记为R(A).向量组的最大无关组设向量组A的秩为r,如果a1,…,ar为A

17、中一个线性无关向量组,那么称a1,…,ar为A的一个最大无关组.最大无关组的性质设A为一向量组,则部分组a1,…,ar为A的一个最大无关组的充分必要条件是(2)A中任一向量可由a1,…,ar线性表示.(1)a1,…,ar线性无关;一、内容提要化矩阵A为行最简形A0,通过观察A0,便知A的列向量组的秩和一个特定的最大无关组,以及A的其余列向量在该最大无关组下的线性表示.一、内容提要秩与最大无关组的一个算法例设的秩为3,一个最大无关组为则且有初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.向量组的线性表示若向量组B中的任一向量都可由向量组A中的向量线性表示,就称