特征函数的一种新解释及其应用 (1)

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1、2008年5月吉林师范大学学报(自然科学版)l.2第2期JournalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)May2008特征函数的一种新解释及其应用周茂袁,王秀丽,李雪艳(中国民航大学理学院,天津300300)摘要:在基于傅立叶变换物理意义的特征函数直观解释的基础上,提出了特征函数的一种基于坐标分解的新解释.首先分别给出了离散型和连续型随机变量的特征函数和概率(密度)函数的新解释.然后利用这种新解释来求随机变量的分布函数.最后得出,这种新解释能加深对

2、特征函数的理解,而且能使特征函数相关的求解问题化繁为简.关键词:特征函数;新解释;分布函数中图分类号:O211.5文献标识码:A文章编号:1000-1840-(2008)02-0037-02定理1若随机变量F的特征函数U(t)于R0引言上绝对可积,则F为具有密度函数f(x)的连续型随机变量,且特征函数是概率论中一种有力的工具,文献[1]]1-jtxf(x)=eU(t)dt(4)2PQ-]和[2]讨论了它的一些性质和应用,但它涉及傅立叶变换,内容比较枯燥,运算比较繁杂.鉴于此,笔者在定理2若F为取整数值的随

3、机变量,其概率基于傅立叶变换物理意义的特征函数直观解释的基函数为础上,提出了特征函数的一种基于坐标分解的新解pk=P{F=k},k=,,-3,释.-2,-1,0,1,2,3,,,定义1设F是定义在概率空间(8,F,P)上其特征函数为U(t),则jtFP的随机变量,它的分布函数为F(x),称e的数学期1-jtkpk=eU(t)dt(5)望E(ejtF)为F的特征函数[3],其中j=-1,tI2PQ-PR,并记为U(t).显然,U(t)=E(ejtF)=E(costF)+jE(sintF)1特征函数的新解释]

4、]=QcostxdF(x)+jQsintxdF(x)-]-]1.1基于傅立叶变换物理意义的直观解释]=QejtxdF(x)(1)显然特征函数是一种特殊的傅立叶变换,那么-][4]它也就有傅立叶变换所具有的物理意义.因此,F的特征函数也可称之为对分布函数F(x)的jtx离散情况下,首先U(t)=Epkek的物理解傅立叶)斯蒂尔切斯变换.k释:在振动理论中,把特征函数U(t)看作一个振动,当F为离散型随机变量时,其特征函数为jtxjtFjtxek相当于单位谐波,U(t)可解释成由简谐振动U(t)=E(e)=E

5、pkek(2)kpjtxkke(k=0,?1,?2,,,)叠加产生的运动.其中pk=P{F=xk}.1P-jtk当F为连续型随机变量时,其特征函数为再次pk=U(t)edt的物理解释:在振2PQ-P]U(t)=E(ejtF)=f(x)ejtxdx(3)1-jtkQ-]动理论中,pk是由简谐振动2P=U(t)edt叠加文献[3]给出了分布函数与特征函数的一一对(即积分)产生的运动.应关系:连续情况下,特征函数也有相应的物理解释.收稿日期:2008-03-24基金项目:中国民航大学科研基金项目06kys05z

6、、05yk31s、04cauc18s资助第一作者简介:周茂袁(1980-),男,山东青岛人,助教,硕士,研究方向:概率论与数理统计.)37)]jtx特征函数U(t)=Qf(x)edx的物理解释:-]2新解释在求分布函数时的应用jtx在振动理论中,把特征函数U(t)看作一个振动,e相当于单位谐波,特征函数U(t)即可理解为由简谐如求下列各随机变量F的概率分布,已知其特jtx振动f(x)edx叠加(即积分)产生的运动.征函数分别为]1-jtx(1)cost(2)cos2t同理,f(x)=U(t)edt也有类似

7、的2PQ-]由文献[2]中的反演公式可解决此问题,即利用公式物理解释:在振动理论中,f(x)是由一切角频率为T-jtx-jtx1e1-e21-jtxF(x1)-F(x2)=limU(t)dt的简谐振动2PU(t)edt叠加(即积分)产生的运Tv]2PQ-Tjt但计算过程比较繁杂.如果利用本文提出的新解释1-jtx动,U(t)为初始向量,e为单位谐波.2P去求这个问题就非常简单,现用此法求解.1.2基于坐标分解的新解释分析:只要将特征函数U(t)进行坐标分解即可,受傅立叶变换物理意义的启发,得到基于坐标U(

8、t)可以看作是以ejtk(k从-]到])为基的可列[5]分解的特征函数的新解释.无穷维空间下的坐标分解,第k维的坐标值为pk,jtx离散情况下,特征函数U(t)=Epkek的新解由文献[2]中的惟一性定理可知pk即为概率分布.k释:U(t)可以看作是以ejtxk(k从-]到])为基的解:(1)由Euler定理it-it可列无穷维空间下的坐标分解,第k维的坐标值为cost=e+e=1eit@1+1eit@(-1)222pk.it