构造在数学解题中的应用

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1、第l2卷第3期宁波教育学院学报V01．12No．32010年6月JOURNALOFNINGBOINSTITUTEOFEDUCATIONJun．2OlO构造在数学解题中的应用戴红波(宁波市鄞州区望春初级中学，浙江宁波315175)摘要：构造合适的方程、图形、函数解决数学问题，不仅可以拓展学生的解题思路，整合学生的数学知识，而且有利于培养学生的创新能力。关键词：数学解题；构造法；创新中图分类号：G633．6文献标识码：A文章编号：1009-2560(2010)03—0134—02构造法就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造

2、与问题相关的方程、图形及函数，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法。构造与问题相关的数学模型是建立在对问题深刻认识的基础上，在数学解题中适当运用构造法有利于提高学生的数学思维品质，培养学生的创造性思维。构造，又常以其巧妙构思，精美构形令人拍案叫绝。1构造方程有些数学题经过观察可以构造一个一元二次方程，运用根的判别式或根与系数的关系，从而得到巧妙简捷的解答。例1：已知(b—c)2-4(a_b)(c—a)，且a≠0，求的值。分析：已知条件感觉很眼熟，移项后(b—c)一4(a-b)(c—a)酷似于根的判别式，因而构造关于x的一元二次方程：x2-(b—c)x+(a．b)(c

3、—a)=0，得△=(b—c)2-4(a_b)(c—a)：0。易求两根xt=a-b，x2=e—a，则a～b=c—a，有b+c=2a．即=2。例2：已知3m2—2m一5=0，5n。+2n一3=O(其中m，n为实数)，求Im一I的值。分析：经观察m，}为二次方程3x2—2x一5=0的两个根，则m+}=手，m’_}=一5，有Im一}1．、／(m一})v(m+~n1)2-4m"_1=20一=8。2构造图形华罗庚说过：“数离开形少直观，形离开数难人微”。数与形是和谐统一的，是数学教学中不可分割的两方面，用数与形转化思想解题，能充分利用几何直观性，且解法简洁，在解题过程中能培养学生

4、的创造性思维。例3：tan22、／(0。<仅<45。)，则塑的值是——。分析：2是Or．的两倍，能够在某个RtA中找到它们的关系，问题就迎刃而解。构图1，因tan2a=2、／，令Bc=2、／，则cD=1，且BD=AD=3，有tan仅===，因而：=4。。一例4：设a、b．c,d为正实数，a

5、形BDEF为矩形，A、C分别为ED、EF延长线上一点。令AD=c，AE=d，且EF=a，CE=b，贝0DE-d—e，CF-b—a，AB=、／，BC=X／(b-a)％(d-c2)一，AC=、／，从而S△ABc=S四边形AB哑一S△AcE=S△ABD+S越，cr卜S矩形匝、rS△AcE=—1ae+—1(d—c)(b—a)+a(d—c)一—1bd=—；1(ad—bc)。厶厶厶二3构造函数函数在我们整个中学数学中占有相当的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，有利于培养学生思维的灵活性、开拓性和创造性。例5：已知b、C为整数，方程5x+bx+c

6、=0的两根都大于一1且小于0，求b和c的值。分析：利用求根公式，解不等式组求出b、c的范围，这是解本例的基本思路，但过程繁难。由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数y=5x2+bx+c，从函数图像与x轴交点在一1与0之间，如图3得，当x=0时，有f(0)>0，即c>0；当x=一1时，有f(一1)>0，即b<5+c；抛物线顶点的横坐标满足一1<一1U0得b2-20cI>0，即c≤，得c<5，有c=l，2，3，4。分别验证可得b=5，c=l。日往．3)_日往．3)●．．／2‘／A(-I．1)：／。A(-1．1)』／．r＼＼。＼_＼

7、／．．0O’P’’lA‘：．图3图4图5例6：代数式、／x+2x+2+~v／x2-4x+13的最小值是多少?分析：经过分析构造函数y=+X／xZ-4x+13一，即v=、／—+、v／。因而问题转化为在x轴上找一点P使到点A(一1，1)和点B(2，3)的距离和为最小值，如图4，有y=IAPI+IBPI，由图5可得y,~=IAPI+IBP／=5通过上述例子可见构造法解题有着想不到的功效，问题很快便可解决。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度、多渠道进行广泛的联想．则能得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，而且还能加强学生对知识的理解，培养思维