线性代数习题详解

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1、习题一1、（1）.（2）.2、（1）排列的逆序数为.（2）排列的逆序数为.3、含有因子的项（纵标为1324，逆序数为），（纵标为1342，逆序数为）.4、经第一行与第四行交换行列式为负号，经转置行列式不变，经用2乘所有元素为，经用乘第2列加到第5列为行列式不变，经这些处置后行列式为.5、的代数余子式为0，的代数余子式为.6、.7、（1）.（2）.8、（1）.（3）.9、（1）对第i列分开三项（i=2,3,4）,再利用其中两列元素相同、成比例，则行列式为0，其结果为0，等于右边.（2）（3）用递推法

2、去证.从第二行起得：10、（1）用数学归纳法去证.当时，，当时，当时，，由数学归纳法可知，对任何正整数，有.（2）用数学归纳法去证.当时，，当时，当时，由数学归纳法可知，对任何正整数n，有等式成立.11、.12、（1）按第1行至第n行、第1列至第n列展开得证.（2）解一，按第n行、第n+1行展开，得解二，按最简一行、最后一行展开得.故14、设，则得，这时，得，故，即.15、,当时，有非零解.习题二1、（1）（2）（3）.2、即：，这时，。3、（1）（2）4、.5、6、从变量到变量的线性变换为7、各

3、工厂的总收入和总利润为.8、设，由得，即，利用，利用，这时.9、设，由得，即，故，这时，其中为常数.10、（1）,故;（2），故.11、，.12、（1）根据对称矩阵的性质：，根据反对称矩阵的性质：；（2）根据可逆对称矩阵的性质：.13、（1）根据对称矩阵、反对称矩阵的性质：；（2）先证必要性，若是反对称矩阵，则；为反对称矩阵，为反对称矩阵，为对称矩阵，则，即可交换.再证充分性，若，则为反对称矩阵。设为反对称矩阵，为对称矩阵，则，即为反对称矩阵.14、.15、（1）；（2）.16、，则。17、用数学

4、归纳法去证。当时，.当时，成立.则时，，故为正整数时，.18、用归纳法去证.当时，；当时，，等式成立；则当时，；故为正整数时，成立.而.19、因，而，故，则均可逆.20、因，而，故.21、设，则，由；由；即.22、，则，而，，故.23、（1），其中，，而，故；（2），其中，而，故.24、故.（矩阵行阶梯形）（矩阵行最简形）.26、这是矩阵A的标准形D.27、这是矩阵的标准型.28、在秩为的矩阵中，有阶子式、有阶子式，如的，其中有等于0的一阶子式、二阶子式.29、（1），故.（2），故.30、，当时

5、，；当时，；当时，.31、先证必要性若，即初等变换后化为矩阵，而初等变换不改变矩阵的秩，故；再证充分性设，由矩阵的等价标准形理论知，矩阵与有等价标准形，，即，由等价关系的传递性知.习题三1、.2、，则.3、，这时.4、.当时，可由线性表示.这时，，为矩阵行阶梯形，为矩阵行最简形，于是.说明：这一题可用克莱姆法则求解.5、（1）记，因为向量组不能由向量组线性表示，所以，从而这时，；（2），这时.6、（1）因为，所以线性相关.（2）因为，所以线性相关.（3）因为，所以线性无关.（4）因为是四维三个向量

6、，所以线性无关.（5）因为是二维三个向量，所以线性相关.7、因为，所以.8、（1），则线性相关，但不能由线性表示.（2），则存在，使，但线性无关，线性无关.（3），则只有时，使，但这时线性无关，而线性相关.9、因为线性相关，由相关定义知，有一组不全为零的数使得，假设，则不全为零，由上式得.由相关定义知，线性相关，这与题设矛盾，故，于是，则可由线性表示.10、用反证法，设有两种不同表示法，，则，而线性无关，故，最后的结果说明表示式是唯一的.11、先证必要性。设线性无关，为任意维向量，若，则，即可由线

7、性表示。若，则线性相关，因向量的个数大于向量的维数，而线性无关，故可由线性表示（例9已证）.再证充分性。任一向量可由线性表示，则维单位向量也可由线性表示，而向量组与向量组等价，因为线性无关，所以也线性无关.12、（1）因为，所以极大无关组为，亦或或。（2）.13、，为矩阵的行阶梯形，为矩阵的行最简形.（1）由矩阵可见，线性无关，这是所求的极大无关组；（2）；（3）由矩阵可见，记，则，即。14、（1）两个向量不成比例，故线性无关；（2）包含的极大无关组为.（3）.15、先证向量组等价.显然向量组可由

8、向量组线性表示.又，即，从而这说明向量组可由向量组线性表示，故向量组等价.再证秩相等。则由向量组等价，且个数相同（均为），故。16、由作为列构成矩阵.，故，则，故两个向量组可以互相线性表示，因而向量组等价.17、（1）；（2）.18、（1）；（2），即.19、因为，所以已成正交，故，则，再单位化：.20、取，则，，再单位化：.21、（1）不是正交矩阵，因第一行元素平方之和；（2）是正交矩阵，因第行元素平方之和等于1，第行、第行对应元素之和等于零.22、先证为对称矩阵：再证为正交矩阵