宇宙学(cosmology)课堂笔记

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1、宇宇宇宙宙宙学学学(Cosmology)课课课堂堂堂笔笔笔记记记（（（1）））Robertson-Walker度度度规规规宇宙学原理（thecosmologyprinciple）:在宇观尺度下，宇宙是均匀和各向同性的。由CMB的高度各向同性和宇宙大尺度观测（如星系巡天）知宇宙学原理"至少在100Mpc尺度上是成立的。宇宙学原理表明宇宙中任一点和该点的任一方向是物理上不可分辨的。仅仅从宇宙学原理出发，得到的四维时空具有最高对称性，是一个三维球面。在数学上已经且一定得到Roberson-Walker度规，而不需要附加其他(物理

2、)条件。R-W度规其中一个形式为：dr222222222ds=dt+a(t)+rd+rsind'(1)1kr2这里使用的是共动(comoving)坐标，即宇宙在膨胀，每个点相对地球的距离是变化的，但其径向坐标r却是不变的。实际物理量与共动坐标下的物理量的关系：实际量=a(t)
共动量(2)a(t)称为尺度因子。a的值就像势能一样，可以任意取参考点，习惯取地球所处的a值为1，即a(t0)=1引入共形时间(conformaltime)：，且定义d=dt。引入极点角，并令a8

3、k=0(3):sh;k=1则得到R-W度规另一种形式：
22222222ds=dt+a(t)d+sinnd+sind'
2222222=a(t)d+d+sinnd+sind'(4)（（（2）））求求求费费费德德德曼曼曼方方方程程程(FriedmannEquation)假设宇宙物质是理想流体，其能动量-动量张量为：T=(+P)UU+Pg;UU=1(5)1则不含宇宙学常数的Einstein场方程为：R01R=8G02(6)j1jjRi2Ri=8GPi其中

4、0a•ja•2kjR0=3;Ri=+2H+22iaaa则得到：2a_k8G+=(7)aa23a•a_2k2++=8GP(8)aaa2若包含宇宙学常数，则得：2a_k8G+=(9)aa233第（7）式就是Friedmann方程。由（7）（8）两式得：a•4G+(+P)=0(10)a3而能动张量守恒：T=0，其中能量守恒：T0=0，动量守恒：Ti=0;;;由能量守恒得：a__+3(+P)=0(11)a显然，由Friedmann方程得到哈勃常数：H2+k=8G，因此可以求出哈

5、勃常数的变化a23率，以此研究宇宙是加速还是减速膨胀。将Friedmann方程对时间t求导：2HH_2ka_=8G_，a33再联立（10）式得：kH_=4G(+P)+(12)a2（（（3）））物物物态态态方方方程程程(equationofstate)EOSmatter是指其密度主要是静质量的贡献，而热运动所贡献的部分可以忽略，即非相对论性疏散物质。由于压强是由热运动引起的，因此当宇宙是matterdominated时，则有P，由能量守恒得：d+3da(+P)d+3da=0，解得a3=积分常数，即：

6、aa333a=0a0=0取a0=1，即/a(13)2da而辐射为主(radiationdominated)时，由经典理论可知此时压强P=，则有d+3(+P)=3ad+4da=0，解得a4=积分常数，即：a334a=0a0=0，即/a(14)以真空能(vacuumenergy)为主时，+P=0，由能量守恒得密度和压强均为常数。而由于密度恒为正，所以此时得到的是负压强：=comstant>0，P=constant<0(15)临界密度(criticaldensity)c：定义为当k=0时，用今

7、天的哈勃常数值从Friedmann方程中求得的密度：3H202923c==1:8810hg=cm(16)8G方程（9）可变为：2a_8Gk=+a3a28G3k=+38Ga28G8G=(m+r+k+)38G=total(17)3其中3k2=m+r=baryon+DM+r，k=2/a，==constant(18)8Ga8G0即今天宇宙的(平均)总总总密密密度度度"，即0=total0，包括物质、辐射、暗能量、曲率，而不只是理想流体的密度！因此

8、，由方程（16）得：28GH0=0(19)3可以看出，0与c在形式和数值完全一样，但在物理含义上却不同：0是由今天哈勃常数值推算的弯曲宇宙、有暗能量、有理想流体的总密度；而c是由今天哈勃常数值推算的平坦宇宙、无暗能量、只考虑理想流体的密度。但不能说曲率密度+暗能量密度=0，注意