大胆猜测、细心求证——对一道竞赛题的解题过程分析

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1、万方数据·解题研究·中。7擞-7(20lo年第4期·高中版)大胆猜测＼细心求证——对一道竞赛题的解题过程分析210046江苏南京师范大学数科院崔竞“实践是检验真题的唯一标准”．掌握知识的一个重要方面就是我们能在实践中运用它．在数学教育中，我们提倡培养学生的解决问题的能力，教会学生如何思考．在学习过程中我们如果仅仅是把数学中的公理、定理、概念、定义、理论⋯⋯等知识介绍给学生，显然是不够的．一教会思考’意味着数学教师不仅仅要传授知识，而且应当发展学生运用所传授的知识的能力”．在数学中，对知识的运用主要体现在解题中．因此在教学中为了教会学生思考，进行一定量的解题教学是必要的．例如图l，

2、等腰AABC中，AB=AC．在△A日c的外接圆的内部有一与其相切的一个小圆，该小圆又分别与AB，AC相切于P，Q两点．求证：线段PQ的中点恰为AABC内切圆的圆心．图1现在摆在我们面前称之为一个问题，是因为我们对它还不了解．我们还不知道问题的最后状态：未知量是什么样的?证明的结论是否成立?我们锵题的目的是找到解决某个问题的方法，使得我们把未知量变成已知、结论明确无误地呈现在面前．为了这些目的，首先我们要理解题意．1理解题意“弄清题意，问题就解决了一半．”——G．波利亚“知己知彼，百战不殆．”解题如同战斗，只有对敌我双方的局势有充足的理解，才能有可能取得胜利．在战斗打响前，我们首先

3、要掌握一些有利信息在手中．而在解题过程中，有利的信息莫过于问题的条件、结论．“我们已经知道些什么——条件?”这些包括题目中明确给出的，更多的则是：已知条件中隐含了什么?由已知能够推出什么?“我们要解决的未知状态是什么——结论?”在本题中：条件结沦1．AABC足等腰三角形，AB=AC；2．oO’是&ABC的外接圆；3．00与AB。AC相切于P．p两点、内eq的中点是AABC的内心切oo’于D．通过对条件的列举我们大致知道，本题中要涉及的知识有：等腰三角形的性质、外接圆、切线性质．这就要求我们必须首先掌握这些知识点，了解与之相关的知识．而对于所要求的结论，我们还不能很快地知道是什么意

4、思，需要对其进行详细的分析：P9的中点是什么?在哪里?何为三角形的内心?在理解题意的过程中，我们需要对这些术语进行数学直观化的感受．找准所求问题的核心．通过观察图形，我们可以大胆的设想：PQ与A，D连线的交点应该就是PQ的中点，假设为肘．内心——就是内切圆的圆心，也就是三角形角平分线的交点．结论也就是要证明』lf是AABC的内切圆的圆心．2大胆猜测大家都知道行军打仗需要一位军师运筹帷幄．他要在掌握的敌我情况之后，制定一个克敌制胜的战略战术、预想在战斗一切可能的变化与应付的方案．解题一样，成功的解题者在了解题意后，不是横冲直闯而是要在慎重思考、制定计划后才开始行动．对于一道常规的题

5、目，我们能在阅读题目之后想到曾经的做法，按部就班地去操作．在这里体现不了解题者的水平，如果能体现的话也只能是记忆力．而对一道高质量的题目则需要解题者去仔细地思考．问题称为问题在于条件与结论之间有鸿沟．我们解题就是要在他们之间架起连接的桥梁．从鸿沟的两侧同时进行思考可以加快架桥的速度．在分析题意阶段，从条件中我们知道本题可能需要的知识有：等腰三角形的性质、外接圆、切线性质；从结论中我们知道要涉及：中点、角平分线．同时考虑条件与结论，我们发现其中角在题目中占据重要地位．我们可以猜测，本题中角将是一个重要的桥墩．观察图1，我们可以大胆的猜测：整个图形应该是关于AD对称的．对称思想作为平

6、面几何中一个重要思想，对称的出现意味这另一个桥墩的出现．仔细观察图形，我们还可以猜测：PQ∥BC．这无疑有是一个潜在的桥墩．现在我们有个三个桥墩：角：联系这条件与结论，是我们解题的主要途径，我们在解题过程中要去向角靠拢；万方数据十’7擞·7(20lo牟第4a．高中版)．解题研究．对称：从整体把握，将是我们寻找角关系过程中的明灯；平行：从对称出发，到达角关系的一个小桥墩．是解题的中间环节．在这些假设下，我们看问题的解决途径：如图2，在假设条件下：M为PQ的中点，AM为AABC中￡BAC的角平分线一只要BM为LABC的角平分线即可，即zABM=LMBC---，PQ∥BC则／PMB=￡

7、邶c一问题转化成LABM=￡PMB即PB=PM．钐辩彬2’N心沙h图2在假设条件下，只要证明了PB=PM即得证结论成立．下面我们要开始证明假设的条件和PB=PM成立．3细心求证(1)求证猜测由00内切007于D，则07，0，D在同一直线上．AB=AC，D为两圆切点，则AD为AABC外接圆QO’的直径，且AD上BC00与AB，AC相切于P，Q两点，则AP=AQ，故PQ的中点一定在AD上，设为J】If．故AM平分￡肌C，AM上pQ，PD=QD．以上说明图形关于AD是对称的．由AD上B