大学物理 ch3.2-5 刚体力学

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1、第二节刚体定轴转动定律要改变刚体的转动状态，，不仅要有力，不仅要有力，，而且状态改变，而且状态改变的效果与力的大小、、方向和作用点都有关、方向和作用点都有关。一一、一、、力矩、力矩(momentofforce):




M
M=×rFF大小：M=Frsin(Nm)ϕirOφP=Fd（d：：力臂：力臂）dQ方向：：右手螺旋法则：右手螺旋法则注意：：力矩是相对某条固定转轴而言的：力矩是相对某条固定转轴而言的！注意：1.如果外力的方向不在转动平面内，，则力可以沿平，则力可以沿平行于转轴的方向和垂直于转轴的方向分解。zFM=r×F⊥FF//⊥M

2、=Frsinϕrrϕ⊥d=Fd⊥2.几个力同时作用在刚体上，，它们的合力矩就是，它们的合力矩就是各力的力矩的矢量和或者代数和。3.一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。二二、二、、转动定律、转动定律把刚体看作一个质点系，，对其上，对其上P处的第i个质点∆∆∆∆mi，，分析其受力，分析其受力：FisinϕiFi+fi=∆maiifioθiFiϕifsinθriiiP其切线分量为:Fsinϕ+fsinθ=∆mrβiiiiii两边同时乘以ri：2rFsinϕ+rfsinθ=∆mrβiiiiiiii2rFsinϕ+rfsinθ=∆mrβiiiiiiii质点∆∆

3、∆mi的的外力矩的外力矩质点∆∆∆mi的的内力矩的内力矩对所有质点求和，，可以得到，可以得到：2∑rFiisinϕi+∑rfiisinθi=∑∆mriiβi=1i=1i=1合内力矩∑rfsinθ为零，，则，则则：则：iii2∑rFiisinϕi=∑∆mriiβi=1i=12∑rFiisinϕi=∑∆mriiβi=1i=1刚体的的合外力矩的合外力矩∑Δmr2=J，J为转动惯量ii刚体定轴转动定律：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积等于外力对该转轴的合力矩。M=JβM=Jβ与F=ma关系密切！三三、三、、转动惯量、转动惯量(momentofinertia)

4、：22J=∑∆mr（kg·m）ii转动惯量与刚体对给定转轴L的质量分布有关。2L1R1R222J=mRJ=mR12转轴位置不同转动惯量不同1212J=mLJ=mL123通常刚体均为连续体：22J=∑∆mr=rmdii∫m2=∫rρdV质量体分布，，例如立方体，例如立方体、、球体、球体V2质量面分布，，例如薄片，例如薄片、、薄球壳、薄球壳=∫rσdSm=r2dl质量线分布，，例如细棒，例如细棒、、细环、细环∫λl例例22计算质量为m，，长为，长为L的匀质细棒绕通过其端点的垂直轴的转动惯量。J=∫r2dmz解解：解：mdmdm=λdl=dloLldlLm2J=∫l⋅dl

5、0L12=mL3例例33一质量为m，，半径为，半径为R的均匀薄圆盘，，求通过盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解:dm=σdS=σπ2rrddmR23J=∫rmd=2πσ∫rrdrdrm0Ro44πσRπRm==222πR12=mR2注意：：转动惯量具有可相加性：转动惯量具有可相加性。例4转动定律应用：：质量：质量M=16kg、、半径、半径R=0.15m的实心滑轮,一根轻质细绳绕在其上，，绳端挂一质量为，绳端挂一质量为m的物体。。已知滑轮和绳之间没有相对滑动。已知滑轮和绳之间没有相对滑动，，且滑轮与轴，且滑轮与轴承之间的摩擦力忽略不计。。求。求求（求（1）

6、）由静止开始）由静止开始1秒钟后后，后，，物体下降的距离，物体下降的距离。（2））绳子的张力）绳子的张力。解:以竖直向下方向为物体运动的正方向；以垂直于滑轮向外为滑轮转动的正方向R'MTmg−T=ma1T2TR=Jβ=MRβm2a=Rβmg−2ma=5m⋅sR'T1212h=at=××51=2.5m22TmT=40Nmg第三节定轴转动的动能定理一一、一、、力矩的功、力矩的功dA=F⋅dr=Fdcosrαdθdr=FrdcosθαF=FrsindϕθαMdϕ=θrAθ2Md=∫θθ1dAdθ功率为：P==M=Mωdtdt二二、二、、转动动能、转

7、动动能刚体转动过程中任一质元Δmi动能：：12122∆mv=∆mrωiiiir22ivi因此，，刚体的转动动能，刚体的转动动能：122122Ek=∑∆mriiω=(∑∆mrii)ω2212E=Jωk2三三、三、、刚体做定轴转动时的动能定理、刚体做定轴转动时的动能定理dωdA=Mdθ=Jdθ=JωωddtAdAω2Jd1J21J2=∫=ωω=ω−ω∫21ω1221212A=Jω−Jω=∆E21k22合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。关于保守力、、势能、势能、、机械能等的概念、机械能等的概念，，同样适用于刚体，同样适用于刚体。例例55一质量为m、、长