教学案例：对数函数——两种不同案例的比较

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1、对数函数——两种不同教学案例的比较1950年代，苏联凯洛夫的《教育学》引入我国，其中设计的五环节教学（组织教学—引入新课—讲解新课—巩固新课—布置作业）深入人心，至今仍然支配着广大数学教师的课堂教学设计，其中引入往往是数学教师最精心设计的部分。这符合人的认知规律，也与现代认知主义理论、建构主义思想相一致。“温故而知新”课堂教学的开始多以复习提问的形式，教师设计了一系列的复习问题，让学生在对与新知识相关的已知内容的“温故”之中，水到渠成地学习新知识。而随着新课改的实施，一些以问题情境引入课题的方式的大量涌现。以下是两个不同有关对数函数的案例。案例1（由指、对数

2、函数之间互为反函数的关系引入对数函数）教学程序：复习引入组织探究尝试练习巩固反思作业回馈课外活动从指、对数函数之间的关系引入对数函数指、对数函数的内在联系，图象关系．简单的反函数问题，单调性问题．从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．简单的反函数问题，单调性问题．互为反函数的函数图象的关系．教学实录(引入片段):师：同学们，上一节课我们学习了指数函数，大家还能回想起它的图像与性质吗？群生：回答问题。师：下面我们来看一下这个指数函数，你能用列表法将其表示出来吗？（叫一名学生在黑板上板演）生：学生列表表示出指数函数（如下表所示）

3、…-3-2-10123……1248…师：回忆一下我们学过的函数的概念，你能说出函数中的对应关系吗？生：师：现在我们将上述表格中自变量与应变量的位置调换，变成如下表格，你能说出y关于x的表达式吗？…1248……-3-2-10123…生：y关于x的表达式为师：根据函数的定义，判断他是否是一个函数？生：是。师：我们知道上述两个函数定义域和值域互换，对应关系互逆，我们称他们的关系为互为反函数。（教师要求学生做出两个函数的图象，由特殊推广到一般研究，根据对数函数是指数函数的反函数的关联性，借助图象研究对数函数的性质）…………案例分析：该案例的引入采取了为“温故而知新”

4、的策略，而该案例能够取得成功，主要取决于以下两个因素：（1）学生对函数的概念的理解透彻；（2）学生已经学习了指数函数的概念，而且对它的图象及其性质掌握较好。在此案例中，之所以将指、对数函数结合起来研究是因为这两个函数之间存在一种关联性——同底的指数函数和对数函数互为反函数。这样设计的好处是，可以将指数函数与对数函数联系起来，使学生对知识的认知结构更为完整，对指数函数与对数函数有一个更深刻的理解，其次教师在设计时，由两个简单的指、对数函数入手，从特殊推广到一般，使概念广泛化，这样为后面利用图象研究性质打好了基础。不好的一点是，在此设计过程中，我们无法避免反函数

5、概念的引入，这是否加大了学生的负担呢，这种教学过程是否能够适用于所有学生仍值得商榷。而为了加深学生对反函数概念的理解，教师也在后面加了一些关于该概念巩固的习题，但是这样做是否有点冲淡了我们的主题——对数函数。案例二（通过问题情境由学生自己探究习得新知识）：创设情境概念辨析组织探究巩固反思作业回馈课外活动由函数的观点分析例题，直接引出对数函数概念．加深学生对对数函数概念的理解.学生作图，辅助多媒体课件探究性质从宏观性给对数函数的定义、图象、性质作一小结．简单的对数函数问题，单调性问题（比较大小）．指、对数函数的关系．教学程序：教学实录（引入片段）师：材料一：当

6、生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果．师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：（1）P和t之间的对应关系是一一对应；（

7、2）P关于t是指数函数；t关于P是对数函数，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；它仍是一个函数，但不是我们曾经学过的函数，由于函数中有对数符号，我们称其为对数函数。师：现在，你能给出对数函数的定义吗？生：（叙述对数函数的定义）师：强调对数函数定义的形式化，组织学生做一些练习巩固对概念的理解……（先让学生描点作图，画出对数函数的图象，让学生展示其结果，然后辅助多媒体技术让学生探究对数函数图像及其性质）…………案例分析：在案例二中教师让学生先根据函数概念判断t关于P的模型是否是函数，由于这个函数学生以前从未见过

8、，因而引出这样的函数究竟是什么的问题，这样的过度自然