信号与系统——连续系统的s域分析

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1、1第五章拉普拉斯变换§5.1拉普拉斯变换§5.6系统函数2021/7/24125.0引言2021/7/2423Laplace.pierre-simon，1749生于诺曼底的博蒙昴诺日，1827年死于巴黎。法国数学家、天文学家。1785当于法国科学院院士。研究天体力学和物理学，天体力学的奠基人，分析概率论的创始人是应用数学的先驱。认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。2021/7/243第四章的思想一是将信号分解为虚指数信号ejwt的叠加—傅氏级数和傅氏变换。二是响应的合成。即把ejwt作为测试信号

2、，系统频率特性H(w)响应为ejwt叠加。对分析谐波成分、频率响应、波形失真、取样、滤波十分有效。本章以est为基本信号。42021/7/244英国工程师Heaviside(1850~1925)1899年在解决电气工程中出现的微分方程时，首先发明了“算子法”。在实际应用中得到欢迎，但许多数学家认为缺乏严密的论证而极力反对，Heaviside追随者（例如卡尔逊、布罗姆维奇……等人）并未止步，最后在拉普拉斯著作中找到依据，取名为拉氏变换。二十世纪三四十年代在电路分析、网络理论等方面有广泛的应用，直到五十年代奇异函数理论的进一步完善，给时域

3、法带来生机，形成现在变换法与新时域法并驾齐驱的局面。52021/7/245拉氏变换方法在电学、力学等众多领域中得到广泛应用，尤其是在电路理论研究中。在相当长时期内，人们几乎无法把电路理论与拉普拉斯变换分开来讨论。系统、非线性系统的研究与应用日益广泛，而拉氏变换在这方面是无能为力的，于是它长期的传统地位正在让位给一些新的方法。然而，作为研究以输入-输出描述的连续、线性、时不变系统的有力工具，拉氏变换至今仍然起着非常重要的任用，某些新方法也是在拉氏变换的基础上发展而来的。62021/7/2462008-05-077运用拉氏变换可把线性时不

4、变时域模型简便地进行转换，经求解后再还原为时间函数。从数学角度上看，拉氏变换是求解微分方程的工具。求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和补解(齐次解)，而且初始条件自动地包含在变换式里。微分、积分乘法、除法2021/7/2478起始条件y(t)=T[f(t)]微、积分方程F(s)=L[f(t)]Y(s)=L[y(t)]代数方程拉氏变换Y(s)y(t)代数求解逆变换古典法L-1[Y(s)]2021/7/24893.在无线电技术中经常遇到的指数函数、超越函数以及有不连续点的函数，经拉氏变换可转换为简单的初等函数。对于某些非周期

5、性的具有不连续点的函数，用古典方法求解较繁锁，用拉氏变换方法很简便。卷积运算乘积运算，在此基础上建立了系统函数的概念为研究信号经线性系统传输问题提供了许多方便。付氏变换可作为拉氏变换的一个特例。2021/7/24910本章要点拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏变换拉氏变换的性质，收敛域卷积定理(S域)周期和抽样信号的拉氏变换系统函数和单位冲激响应拉氏变换与傅氏变换的关系2021/7/241011§5.1拉普拉斯变换一.拉氏变换的定义从傅氏变换到拉氏变换从算子符号法到付氏变换二．拉氏变换的收敛三．一些常用函数的拉氏变换2021/7

6、/241112一、拉氏变换的定义——从傅氏变换到拉氏变换有几种情况不满足狄里赫利条件：ε(t)增长信号周期信号若乘一衰减因子为任意实数，则收敛，于满足狄里赫利条件2021/7/2412132021/7/2413142021/7/241415拉氏变换拉氏变换对：15bbf(t)F(s)原函数象函数2021/7/24151616二．拉氏变换的收敛收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；2021/7/24161717收敛域有始有终信号和能量有限信号或

7、等幅振荡信号和增长信号不收敛信号除非整个平面以为界2021/7/24171818双边拉氏变换收敛域—2021/7/24181919收敛，存在双边拉氏变换没有收敛域。不存在双边拉氏变换2021/7/24192020不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的象函数。2021/7/24202121说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在2021/7/242122二、单边拉氏变换双边拉氏变换对有始信号而言222021/7/242223二、单边拉氏变换单边拉氏变换定义232021/7/242324

8、因果象函数正LT原函数逆LTFT:实频率w是振荡频率LT:复频率s=s+jw，w是振荡频率，s控制衰减速度2021/7/242425从算子符号法到拉氏变换若需使成立设变换可通过下面运算得到这表明：在所研究的时间范围内，对