借形解题要注意的几点问题

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1、1998年第9期　　　　　　　　　　　　　数学通讯17借形解题要注意的几点问题陈陆巧(浙江省瑞安中学　325200)　　数形结合是中学数学中强调的重要数学思想之(1)当a>3时,取x=a-3,dmin=6a-9.欲一,尤其借助图形解题以其直观、形象、简捷深受青13使dmin>2,则6a-9>4,a>,这时取a>3.睐.但解具体问题时,学生往往对图形的准确性、合6(2)当a≤3时,取x=0,dmin=ûaû.欲使dmin>理性等方面缺乏深刻的认识,导致解题出现这样或那样的错误.本文针对这种情况,结合自己的教学实2,则a>2或a

2、<-2,此时,取22或一、要注意图形的存在性a<-2.借形解题有独到的效果,但若忽视图形的存在二、注意图形选择的合理性性,只凭主观想象,无中生有,则会造成错解.借助图形解题,往往可以通过条件转化,选择不例1如果抛物线y2=6x与圆(x-a)2+y2=4同图形来解,但只有选择最优图形,才能使解题更直没有公共点,求实数a的取值范围.观、简捷.错解:∵圆的半径例2已知A={(x,y)ûy=mûxû},B={(x,y)为2,圆心为(a,0

3、),图1ûy=x+m},C=A∩B,若C中仅含有两个元素时,是圆与抛物线y2=6x的求实数m的取值范围.两个相切位置,显然,当[思路1]　直接画图象:y=mûxû,y=x+m.图2,图3,图4分别对应m=0,m<0,m>0三种情况,a=-2时,外切.设与抛物线内切而且图3,图4还要对m分情况讨论,显得比较复图1时,由杂.2y=6x消去(22x-a)+y=4y,整理得22x-(2a-6)x+a-4=0①2213$=(2a-6)-4(a-4)=0]a=.结合图形可613知,a<-2或a>.图2　　　　　　图3　　　　　　图46[

4、思路2]　显然m≠0,原题可转化为方程mûxû13225剖析:当a=时,方程①化为3x+5x+=1612=x+mZûxû-1=x有两个不同解.m0,其相等两根为负数,所以圆与抛物线相切的情况1令y=ûxû-1,y=根本不存在.m·x,转化为此两函数图象正确解答　原题转化为抛物线上点到(a,0)的有两个交点.为此,作这两距离的最小值大于2,求a的取值范围.222个函数的图象,如图5,欲使考察此距离d,有d=(x-a)+6x=x-2(a2222有两个交点,从图中清楚地-3)x+(a-3)+a-(a-3)=[x-(a-3)]+6a

5、图5-9.18数学通讯　　　　　　　　　　　　　1998年第9期得出1<1(m>0)或1>-1(m<0),即m的取值剖析:图象法是解决此mm题的独特妙法,但作图时,没范围为m>1或m<-1.2有注意到函数y=x和y=[思路3]　方程mûxû=x+m有两个不同解x(x2x>0)的递增“速度”变(m≠0)Zm=有两个不同解.令y=ûxû-1化,只考虑局部图形,从而导x,y=m,在同一坐标系内作出这两个函数的致错误.ûxû-1事实上,当x<0时,显图9图象,如图6.易看出它们有两个交点时,m>1或m然有一个交点,当x>0时,<-1

6、.有两个交点(2,4)和(4,16),故共有三个解.评注:思路2,3比五、注意图形性质的已知性思路1合理,因为思路例5(1994年高考理科22题)已知函数f(x)1中两个函数都有参PP变量m,都是“动态”图=tgx,x∈(0,2),若x1,x2∈(0,2),且,x1≠x2,象,稍不留意会漏解.1x1+x2求证:[f(x1)+f(x2)]>f().22而思路3虽然结果清[思路1]　如图10,画x晰,但y=的图Pûxû-1出函数y=tgx,x∈(0,)2象较难画.故三者比的图象,设A(x1,tgx1),较,应以思路2选择图图6x

7、1+x2形最合理.B(x1,tgx2),M(,2三、注意图形的准确性x1+x2tg),C为AB的中借形解题,不仅要画出函数图象或曲线的大致2形状,而且要尽量准确地描绘图形,特别要注意同一点,由图可知ûA1Aû+ûB1Bû图10坐标系中,不同图形的相对位置.=2ûM1Cû>2ûM1Mû,例3求方程tgx=sinx在区间[-10,10]上的∴1(tgx)>tgx1+x2,即1+tgx222解的个数.1x1+x2[f(x1)+f(x2)]>f().错解:画出函数y=tgx,y=sinx在[0,4P]上的22大致图象,如图7.两图象

8、在(0,10]上有6个交点,由[思路2]　设01,ûCBûûOBû图1