《比较与类比》PPT课件

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1、第十五章比较与类比第一节比较概述与类型1、比较概述比较是人类认识客观事物的一种最基本的思维方法。比如,对事物集合量的最初的认识,正是通过比较认识到事物集合量的“多”或“少”或“同样多”,从而形成等价集合类的概念,最终得到自然数的概念。比较还使我们发现某类事物不同于它类事物的共同的本质属性,从而形成概念,达到对事物更深刻的认识。无论是区分事物的质,还是区分事物的量,都要通过比较这一思维方法才能达到。区分事物的客观基础,就是事物本身所具有的同一性和相异性。因此,我们可以说,比较就是在认识事物的过程中,确定思维对象的相同点和不同点的思维方法,它是其他思维方法如分析

2、综合、抽象概括、归纳演绎等的基础。因此,要有意识地学会比较这一思维方法,把它作为数学思维的重点之一。2、比较类型⑴相同点的比较就是要确定我们的思维对象的共同属性。有些貌似不同的事物,也可能存在一些共同点,这些共同之处往往联系着它们的规律。因此,通过比较寻找相异事物的共同点,可以开拓思路,探索规律,更深刻地认识事物及其相互关系,这类比较方法可以概括为“异中见同”。【例】将四个分数按照由小到大的顺序排列。【分析】这四个分数互不相同,若作通分后比较,将非常麻烦。但经观察比较,得到一个共同特点是,分子总比分母小1。其中:分子相同的分数仅比较分母即可,即由可得到【例】

3、用一条直线将一个长方形分为两等分,有几种画法?【分析】分法是很多的,画出几种并不难,难在需要确定有几种画法。在多种画法中,比较下面这种最特殊的一种画法:即经过矩形两对角线交点——矩形的中心,所画的直线都平分矩形;而且容易由平行截割定理证明其正确性;因此,用一条直线将一个长方形分为两等分,有无数种画法。而经过矩形两对角线交点可作无数条直线;⑵不同点的比较不同点的比较就是要确定思维对象的不同特性。有些貌似相同或十分相似的事物,实际上总是存在着某些差异,即使是相等的事物,也只是彼此不相同、不同一的事物之间的同一。通过比较寻找相同或相似事物的不同点,同样可以开拓思路

4、,探寻规律,更深刻地理解某些概念及其相互关系。这类比较方法可以概括为“同中求异”。【例】下面每组数中,请找出不同类的数来,并说明理由。【解】在⑴组数中,不是自然数。在⑵组数中,⑴1,4,7,,14,17,20,⑵0,1,1.5,3,6,8,16,不是整数。【例】比较合数与偶数的区别。【解】分别从内涵和外延两方面进行比较:【区别】⑴两概念的外延是交叉关系,合数中不含负偶数、0和2,概念内涵外延合数能被1和它自身以外数整除的自然数4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,…偶数能被2整除的整数…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,…而偶数中不

5、含奇合数;⑵两概念的内涵是交叉关系,合数规定能被1和它自身以外数整除,而且是自然数;而偶数规定能被2整除的整数,而且是整数。上述两例都是“同中见异”的比较。“异中见同”和“同中见异”两类比较方法在实际运用过程中,往往是综合进行的,并配合其他思维方法,相辅相成。3、比较方法举例⑴运用比较,掌握数量关系【例1】小营村有耕地面积180亩,其中棉田占总耕地面积的3/5,全村棉田有多少亩?【例2】小营村有棉田面积180亩,棉田占总耕地面积的3/5,全村总耕地有多少亩?【比较】两题的数量关系都没变,都是全村总耕地面积×3/5=全村棉田面积不同的是已知条件与所求问题交换了

6、。⑵运用比较,发现规律【例1】比较一组等式:6÷3=2,60÷30=2,600÷300=2,6000÷3000=2,60000÷30000=2,观察6K÷3K=2再考虑(6×0)÷(3×0)=?总结运算规律:“被除数与除数同时乘以相同的非零数值,商不变。”⑶运用比较,突出概念的内涵和外延概念学习中适当运用变式材料,借助比较,促进理解概念的内涵,那么这个概念的外延也就明确了。①运用比较,辩析易混概念——恰当组织正反对比学习中,从正面揭示概念、法则、公式等,无疑是重要的,但仅仅这样还不够,对一些重要概念和典型问题,应抓住本质进行正反对比,或从反面提出一些问题,进

7、行思索判断,加深理解。②适时归纳已学过的相关概念数学概念体系中,有一些相似概念(如数位和位数、质数与互质数、比和比例、求比值与化简比、方程的解与解方程等),还有一些相近概念(如除尽与整除、数与数字、质数与质因数、计数与记数等),还有一些相反概念(如约数与倍数、扩大与缩小、化法与聚法、正比例与反比例等),都是容易混淆的概念,在复习阶段把这些易混概念放在一起进行对比辩析,归纳注意点,有利于使学习形成分化,达到深化理解的目的。⑷运用比较,开拓解题思路①通过比较、沟通联系,变换思考角度【例】一堆煤用去1200吨,比余下的多1/3,这堆煤原有多少吨?【分析】若按题目的

8、思路进行思考,计算量大:设这堆煤原有x吨,用去120

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