第1 o章 比较与类比

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1、第1O章比较与类比10．1比较概述与类型i0．1．1比较概述比较是人类认识客观事物的一种最基本的思维方法。比如，对事物集合量的最初的认识，正是通过比较认识到事物集合量的“多”或“少”或“同样多”，从而形成等价集合类的概念，最终得到自然数的概念。比较还使我们发现某类事物不同于它类事物的共同的本质属性，从而形成概念，达到对事物更滦刻的认识。无论是区分事物的质，还是区分事物的量，都要通过比较这一思维方法才能达到。区分事物的客观基础，就是事物本身所具有的同一性和相异性。因此，我们可以说，比较就是在认识事物的过程中，确定思维对象的相

2、同点和不同点的思维方法，它是其他思维方法如分析综合、抽象概括、归纳演绎等的基础。正如黑格尔所指出的“我们今日常说的科学研究，往往主要是指对于所考察的对象加以相互比较的方法而言”。当然，黑格尔紧接着还指出“比较方法所得的结果诚然不可缺少，但只能作为真正的概念式的知识的预备工作”。因此，数学教学从小学开始，就要有意识地引导学生学会比较这一思维方法，把它作为教学的重点之一。10．1．2比较类型1．相同点的比较相同点的比较就是要确定我们的思维对象的共同属性。有些貌似不同的事物，也可能存在一些共同点，这些共同之处往往联系着它们的规律

3、。黑格尔曾指出“这种外在的差别，就其为相关的事物的同一而言是相等”。因此，通过比较寻找相异事物的共同点，可以开拓思路，探索规律，更深刻地认识事物銎其相互关系，这类比较方法可以概括为“异中见同”。…把罴，怒，鬻苫四个分数按照由／J、至lJ大的J1顷序排歹IJ出来。分析：这四个分数看来各不相同，但仔细观察比较，就会看出它们的共同特点是分子比分母小1，由婴比1少土，望旦比1少—1_，由墅比1少上，19819819881988。988。988由坚比l少土1919—11l1m】——>——>——>——191989881988所以，望<

4、堕<塑<堕i91989881988例2把一个长方形两等分。有多，多种画法?分析：学生的分法是很多的，画几种并不难，难在从不同的分法中找出共同的本质的规律性。学生在操作中可以逐步发现，只要找到了这个长方形(含正方形)的中心(两条对角线的交点)，通过中心点画一条直线，就可以把长方形平均分成两份。因为过一点可以画无数条直线，所以答案是有无数种画法。2．不同点的比较不同点的比较就是要确定思维对象的不同特性。有些貌似相同或十分相似的事物，实际上总是存在着某些差异，即使是相等的事物，也只是彼此不相同、不同一的事物之间的同一。所以著名数

5、学家莱布尼兹指出，天地间没有两个彼此完全相同之物。据说莱布尼兹当初在欧洲的宫庭里指出他的“相异律”时，宫庭中的卫士和宫女们纷纷走入御花园，四处去寻找两片完全没有差别的树叶，想借以推翻这位数学家兼哲学家所提出的这一相异律。比较的结果，总是说明了差异是绝对的。因此，通过比较寻找相同或相似事物的不同点，同样可以开拓思路，探寻规律，更深刻地理解某些概念及其相互关系。这类比较方法可以概括为“同中求异”。例3下面每组数中，请找出不同类的数来，并说明理由。11(i)1，4，7，10二，14，17，20，(10二不是自然数)22(ii)0

6、，l，1．5，3，6，8，16，(1．5不是整数)例4比较合数与偶数的区别。我们从概念的内涵和外延两方面加以区别。见表10．1。区别(i)两概念的外延是交叉关系；(ii)合数中既有奇数，也有偶数；(iii)偶数中的数除零以外，还有正负两类，正负数中仅2是质数，其余都是合数。此外，例如，比较质数与奇数；化简比与求比值；平行四边形与长方形的区别等等，都是“同中见异”的比较，上述两类比较方法在实际运用过程中，往往是综合进行的，并配合其他思维方法相辅相成。10．1．3比较方法举例1．运用比较，掌握数量关系教学“已知一个数的几分之几

7、是多少，求这个数”的应用题，一般是通过“求一个数的几分之几是多少?”的应用题来导入。气例如，小营村有耕地面积180亩，其中棉田占总耕地面积的三，全村棉田有多少亩?让学生找出单位“1”的数量，分析数量关系(图10．2)并解答。然后将上题改编为新授题：小营村有棉田108亩，占总耕地的喜，全村耕地面积是多少亩?启发学生根据3题意改变图10．2的条件和问题，画出图10．3，引导学生对照两图，分析两题结构上的异同点。不同点是原来总耕地面积是已知条件，现在变成所求的问题，原来要求棉田有多少亩，现在变成已知条件。相同点是两题都把全村耕地

8、面积看作单位‘‘1”，棉田占总耕地面积的善没有)变化，即(全村耕地面积)×导=108这一数量关系没有变。学生掌握了数量关系就能3列式解答了。2．运用比较，发现规律例如，教学“商不变的性质”，教师先引导学生比较下面一组等式。6÷3=2，60÷30=2600÷300=2，6000÷3000=2(i)首先从整