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1、解题研究(2011年第2期初中版)29剪拼中的数学思考210012江苏省南京市雨花台中学杭秉全把一个图形分割成几块;将几个图形拼成另一个与之等积的图形;先把一个图形剪成几块,然后再拼成另一个与之等积的图形,这些都是图形剪拼问题.有趣的图形剪拼问题中常常蕴含着理性的数学思考,要求解题者进行多方位、多角度、多层次探索,可以培养解题者思维的灵活性、发散性和创新性.笔者例析几例,与同仁共赏.图11图121图形的分割(裁剪)点评因为过矩形对称中心的直线将矩形分成两1.1等积分割个成
2、中心对称的图形,它们全等.因此,可以将图割(或例1张老汉有一块如图1所补)成两个矩形,再利用中心对称的性质进行画图,如分示的田地,相邻两边均互相垂直,2割策略1;不难算出这块田地的面积为4000m.所以,只AB=80m,AF=60m,BC=CD=240m,他想把田分给两个儿子,儿子要使田地被分成的其中一块面积为2000m,即可得出另2提出:图1一块面积也为2000m,达到面积平分的目的,如分割策分割成的两块面积应相等;略2;在图5中取MN的中点O,分割线做成一条直的水渠,便于灌溉.过O画M1,N1,分别交AF,BC请你帮助张老
3、汉画出这条水渠所在的位置吗?于点M1,N1(如图13),则解分割策略1运用对称性分割(如图2,图3,图4M1OMN1ON,所以沿中MN为所求.)M1N1分割符合要求.图131.2相似裁剪例2如果有两边长分别为1,a(a>1)的一块矩形绸布,要将它剪裁出三面矩形彩旗(面料没有剩余),每面彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同,画出图2图3图4两种不同裁剪方法的示意图,并写出相应a的值(不写分割策略2通过计算分割(如图5,图6,图7,图8,图9,图10,图11,图12中MN为所求.)计算过
4、程).解裁剪方法1如图14.a=3;图5图6图7图14图15裁剪方法2如图15.a=2.点评此例裁减方案的设计具有很强的灵活性与开放性,对探索构图提出了较高要求,在确定a的值时,需运用相似性质,建立关于a的方程求解.设矩形绸布图8图9图10ABCD中,AB=1,BC=a.30(2011年第2期初中版)解题研究a解法1设每小块矩形的长为xcm,宽为ycm.根据裁剪方法1中,BE=EG=GC=,AF=FH=HD=3较大的矩形上下
5、两条对边相等,得2x=x+3y;由较大的a,则四边形ABEF,四边形FEGH,四边形HGCD均为矩矩形的宽为60cm,得x+y=60.联立这两个方程,得32x=x+3y,x=45,BEAB形且彼此全等.当=时,矩形ABEF矩形BCDA,解之,得所以每小块矩形地砖ABBCx+y=60.y=15.a的长为45cm,宽为15cm.31裁剪符合要求.此时有=,解得a=3(取正值);解法2设每小块矩形的长为xcm,宽为ycm.由竖1a立的小矩形与横放的三个小矩形一样高,得x=3y;由较1裁剪方法2中,BE=AF=,EG=GF=CH=HD=
6、a大的矩形的面积可表示为2x60,也可表示为8xy,得2x160=8xy,因为x0,所以y=15.于是得方程组,则四边形ABEF为矩形且与矩形ABCD相似,四边形2x=3y,x=45,GEAB解之,得所以每小块矩形地砖的长为GECH与四边形FGHD都是矩形且全等.当=时,y=15.y=15.ECBC45cm,宽为15cm.121点评此类拼图问题解题的关键是观察所拼图形矩形GECH矩形ABCD,裁剪符合要求.此时有=,1a的结构特征,根据所拼图形的结构特征找到相等关系,a列出方程.最常用的观察角度有两种,一种是观察边之解得a
7、=2(取正值);间的相等关系,另一种是分析面积之间的相等关系.除上述两种裁剪方法外,还可2.2非全等拼接1以如图16裁剪,其中BE=AF=,a例4有若干张如图19所示1的正方形卡片A,B和长方形卡片EG=GF=CH=HD=,则四边形2C,如果要拼一个长为2a+b,宽为图19ABEF为矩形且与矩形ABCD相似,图16a+b的矩形,则需要A类,B类,C类卡片各多少张?请GE四边形GECH与四边形FGHD都是矩形且全等.当=画出一种拼法.EC2解(2a+b)(a+b)=2a+BC时,矩形GECH矩形BCDA,裁剪符合要求.此时有C
8、D2222ab+ba+b=2a+3ab+b.1所以需要A类卡片2张,B2a6=,解得a=(取正值).类卡片1张,C类卡片3张.112图20a-a拼法如图20.也可如图17剪,使四边形BE点评此类拼图问题展现了整式乘法的几何背景.F
