九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径教案 新人教2

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1、垂直于弦的直径课题：24.1.2垂直于弦的直径课时1课时教学设计课标要求探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。教材及学情分析1、教材分析：圆是平面几何中最重要的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而是进一步学习数学以及其他学科的重要基础。圆的许多性质，比较集中的反映了事物内部两边变和质变的关系，一般和特殊的关系、矛盾对立统一的关系。所以本章教学在初中数学教学中有重要地位。2、学情分析学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移、旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这

2、些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．课时教学目标1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明．2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．3．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．重点垂径定理及其应用难点垂径定理的证明教法学法指导探究法归纳法练习法教具课件准备教学

3、过程提要环节学生要解决的问题或完成的任务师生活动设计意图引入新课一、通过折叠探究圆的对称性一、导入新课1．实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性等特征．2．探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？培养学生动手操作能力教学过程二、通过折叠圆探究垂径定理1、探究垂径定理2、探究垂径定理的推论二、新课教学1．垂径定理及证明．请同学们回答下面两个问题：（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少

4、条对称轴？（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．分析：（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．（2）我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．如右图，AA′是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AA′，垂足为M．（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．点评：（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．（2）AM＝A′M，＝，＝．即直径CD平分弦AA′，并且平分．这样，

5、我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．下面我们用逻辑思维来证明它．已知：直径CD、弦AA′且CD⊥AA′垂足为M．求证：AM＝A′M，＝，＝．分析：要证AM＝A′M，，只要证AM、A′M构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OA′或AD、A′D或AC、A′C即可．证明：如图，连结OA、OA′，则OA＝OA′，在Rt△OAM和Rt△OA′M中，OA＝OA′，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OA′M．∴AM＝A′M．∴点A和点A′关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点A

6、′重合，与重合，与重合．∴＝，＝．.进一步，我们还可以得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2．实例探究．例赵州桥（下左图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．培养学生数形结合解决问题的思想用所学知识解决实际问题，知道数学来源于生活，并服务于生活。教学过程四、用知识解决问题五、练习：分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实

7、物图画出几何图形．解：如上右图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．由题设可AB＝37m，CD＝7.23m，所以AD＝AB＝×37＝18.5（m），OD＝OC－CD＝R－7.23．在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.52＋(R－7.23)2．解得R≈27.3m．因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m．三、练习：巩固所学知识小结这节课你学到了什么？板书设计24.1.2垂直于

8、弦的直径1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．作业设计绩优学案1、必做题：1——8题2、选做题：9题教学反思