九年级数学 圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径教案2

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1、24．1.2　垂直于弦的直径01　　教学目标1．理解圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．02　　预习反馈阅读教材P81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，∴AE＝BE；＝；＝．3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD是⊙O的

2、直径，且AE＝BE(AB不是直径)，∴CD⊥AB；＝；＝．03　　新课讲授知识点1　垂径定理例1　(教材补充例题)已知⊙O的半径为5cm.(1)若圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长为8__cm；(2)若弦AB的长为8cm，则圆心O到AB的距离为3__cm．【点拨】　(1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．例2　(例1的变式题)已知：如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝

3、OB.求证：AC＝BD.【解答】　证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.【点拨】　过圆心作垂径是圆中常用辅助线．【跟踪训练1】　若⊙O的半径OA＝5cm，弦AB＝8cm，点C是AB的中点，则OC的长为3__cm．【跟踪训练2】　已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足．若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：连接OC.∵AE＝9，BE＝1，∴半径OC＝5，OE＝4.∵弦CD⊥AB，∴在Rt△OCE中，CE＝＝3.又∵AB是⊙O的直径，弦C

4、D⊥AB，∴CD＝2CE＝6.【跟踪训练3】　⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为3，最大值为5．【点拨】　当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)；当M在A(或B)处时，OM最大．知识点2　垂径定理的实际应用例3　(教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【思路点拨】　

5、解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．【解答】　如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．由题设可知AB＝37cm，CD＝7.23cm，所以AD＝AB＝×37＝18.5(cm)，OD＝OC－CD＝R－7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.52＋(R－7.23)2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3m.【点拨】　圆中已

6、知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【跟踪训练4】　(教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为8米．04　　巩固训练1．在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是5__cm．【点拨】　这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这个弓形所在的圆的半径为__cm．3．如图，AB为⊙O的直径，E是中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝8．4．(24.

7、1.2习题变式)⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长为8，最长弦的长为10．【点拨】　过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．5．(24.1.2习题变式)已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.【点拨】　过圆心作垂径．证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.6．已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB＝40cm，CD＝48cm，求弦AB与CD之间的距离．【点拨】　分情况讨论：①

8、AB，CD在点O两侧；②AB，CD在点O同侧．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.又∵AB∥CD，∴OF⊥CD.①当AB，CD在点O两侧时，如图1.连接AO，CO，则AO＝CO＝25cm，AE＝20cm，CF＝24cm.由勾股定理知OE＝＝15cm，OF＝＝7cm.∴EF＝OE＋OF＝22cm，即AB与CD之