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《高三数学第二轮专题03函数（3）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高三数学第二轮专题3：（函数新题型3）江苏省梁丰高级中学顾云良一、复习要点本课主要复习函数中的一些新题型.当给出的题设是陌生的背景或者运算时，应严格按照有关“定义”或“运算”进行探究.二、基础训练1.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于【答案】.2.若为的各位数字之和（n∈N*）．如：因为+1=197，1+9+7=17，所以=17．记，则=.【答案】11.3.在实数的原有运算中，我们补充定义新运算“”如下：当则函数的最大值等于.
2、【答案】6.4.已知，记，（其中），例如：.设，且满足和，则有序数组是.【答案】(8,6,1,9).三、典型例题例1.设n为正整数，规定：，已知.（1）解不等式f(x)≤x；（2）设集合A＝{0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3(x)＝x；（3）探求；（4）若集合B＝{x
3、f12(x)＝x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素．【分析】（1）按分段函数讨论求解；（2）逐个验证；（3）寻找周期；（4）探究发现.【解答】（1）当时，；当，恒成立，所以解集为.（2）证明：∵f(0)＝2，f(1)＝0，
4、f(2)＝1，∴当x＝0时，f3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；当x＝1时，f3(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1；当x＝2时，f3(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.即对任意x∈A，恒有f3(x)＝x.（3），，，，.（4）由（1）知，，∴，，，由（2）知，对x＝0，或1，或2，恒有f3(x)＝x，则0，1，2∈B.且f12(x)＝f4×3(x)＝x.由（3）知，对x＝，，，，恒有f12(x)＝f4×3(x)＝x，∴，，，∈B.综
5、上所述，0，1，2，，，，∈B.∴B中至少含有8个元素．4例2.对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.（1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（2）设是（1）中的“平底型”函数，为非零常数，若不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围；[来源:学_科_网Z_X_X_K](3）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.【分析】本题需要严格按照“平底函数”的定义求解.【解答】(1)对于函数，当时，，当或时，恒成
6、立，所以是“平底型”函数.对于函数，当时，，当时，，所以不存在区间，使当时，恒成立，故不是“平底型”函数.（2）若对于一切恒成立，则，因为，所以因为，则，故实数.(3)因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间和常数，使得恒成立.所以当，此时.当，当.此时，，综上分析，.4四、课后练习班级姓名1.定义“正对数”:现有四个命题:①若,则;②若,则③若,则;④若,则其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)【答案】①③④2.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个，均有成立，则称函数在
7、定义域D上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为. 【答案】.3.已知函数，有下列结论：（1），等式恒成立；（2），方程有两个不等的实根;(3),则一定有；（4）存在无数个实数，使得函数在上有3个零点，其中正确结论的序号是.【答案】(1)、(3)、(4)4.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论中正确的序号是.(1)．函数（）存在“和谐区间”；(2)．函数（）不存在“和谐区间”；(3)．函数）存在“和谐区间”
8、；(4)．函数（，）不存在“和谐区间”.【答案】(1)、（2）、（3）、（4）5.函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数.设函数为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③当时，恒成立.则_________．【答案】1.6.对于定义在区间上的函数，若任给，均有，则称函数在区间上封闭.（1）试判断在区间上是否封闭,并说明理由；（2）若函数在区间上封闭,求实数的取值范围；（3）若函数在区间上封闭,求的值.【解答】（1）在区间上单调递增,所以的值域为[-3,0].而[
9、-1,0],所以在区间上不是封闭的.4(2)因为,①当时,函数的值域为,适合题意.②当时,函数在区间上单调递减,故它的值域为,由,得,解得,故.③当时,在区间上有,显然不合题意.综上所述,实数的取值范围是.(3)因为,所以,所以在上单调递增，在上递减，在上递增.①当时，在区间上递增，所以，此时无解.②当时，因，矛盾，不合题意.③当时，因为都在函数的值域内，故，又，解得，从而.④当时，在区间上递减，(*)，而，经检
