《导数与不等式》PPT课件

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1、1.导数的概念及运算(1)定义(2)几何意义曲线y=f(x)在P（x0，f（x0））处的切线的斜率为k=f′(x0)(其中f′(x0)为y=f(x)在x0处的导数).(3)求导数的方法①基本导数公式：c′=0(c为常数)；(xm)′=mxm-1(m∈Q);(sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(ex)′=ex;(ax)′=axlna;(lnx)′=(logax)′=第3讲导数与不等式②导数的四则运算：(u±v)′=u′±v′;（uv)′=u′v+uv′;(v≠0).③复合函数的导数：y′x=y′u·u′

2、x.如求f(ax+b)的导数，令u=ax+b,则(f(ax+b))′=f′(u)·a.2.导数的应用（1）求曲线的切线方程利用导数求曲线的切线方程：由于函数y=f(x)在x=x0处的导数表示曲线在点P（x0，y0）处的斜率，因此曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为y-y0=f′(x0)（x-x0).注意：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f（x0))处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x=x0.（2）求函数的单调区间利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几方面：①f′(x)>

3、0是f(x)递增的充分条件而非必要条件（f′(x)<0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据f′(x)>0（或f′(x)<0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.（3）求可导函数的极值与最值①求可导函数极值的步骤求导数f′(x)→求方程f′(x)=0的根→检验f′(x)在方程根左右值的符号，求出极值（若左正右负，则f(x)在这个根处取极大值；若左负右正，则f(x)在这个根处取极小值).②求可导函数在［a,b］上的最值的步骤求f(x)在（

4、a,b）内的极值→求f(a)、f(b)的值→比较f(a)、f(b)的值和极值的大小.3.不等式（1）不等式的性质对不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的放宽和加强，以及条件、结论之间的相互联系，不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面.单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础，因此解不等式要求的是同解变形.（2）均值不等式(其中a,b均为正实数)，均值不等式主要用于证明不等式和求二元函数的最（极）值.解题时往往需要拆（添）项，其目的：一是创设一个应用基本不等式的情境；

5、二是创设使等号成立的条件.创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常见的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立.另外，在运用均值不等式时，不能忽视“正数”和“和”或“积”为定值这两个条件.（3）一元二次不等式的解集（联系图象）.尤其会正确表示当Δ=0和Δ<0时不等式的解集.设a>0，x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两实根，且x10)在（k,+∞）上有两根

6、、在（m,n）上有两根、在（-∞,k）和（k,+∞）上ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0Δ>0{x

7、xx2}{x

8、x≤x1或x≥x2}{x

9、x1

10、x1≤x≤x2}Δ=0Δ<0RR当a=0时，{x

11、x>1}；当a<0时，{x

12、x>1或}当01时，R各有一根的充要条件分别是:根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间［m,n］讨论方程f(x)=0有实数解的情况，可先利用在开区间（m,n）上实根分布的情况，得出结果

13、，再令x=n和x=m检查端点的情况.如实系数方程x2+ax+2b=0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是.1.（2009·全国Ⅱ理，4）曲线在点（1，1）处的切线方程为（）A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=0解析∴y′│x=1=-1.又f(1)=1,∴函数y=f(x)在点（1，1）处的切线方程为y-1=-(x-1),即y+x-2=0.B2.（2009·江西理，5）设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点（1,g(1)）处的切线方程为y=2x+1,

14、则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为（）A.4B.C.2D.解析由条件知g′(1)=2,又∵f′(x)=［g(x)+x2]′=g′(x)+2x,∴f′(1)=g′(1)+2=2+2=4.A3.（2009·安徽理，9）已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点（1，f(