函数的奇偶性题型及解析

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1、函数的奇偶性题型及解析1.给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的有几个？分析：利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．解：∵，∴是奇函数；∵定义域不关于原点对称，∴不是奇函数；∵（﹣x）3+1≠﹣（x3+1），∴不是奇函数；函数的定义域为{x

2、x≠0}，=，∴是奇函数综上，奇函数的个数为2个2.若一个函数图象的对称轴是y轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数：①y=2

3、x

4、；②y=6／x；③y=x2；④y=（x﹣1）2+2中，其中是偶函数的有几个？分析：对于y=2

5、x

6、分类讨论：当x＞0，则y=2x；当x＜0

7、，则y=﹣2x，根据正比例函数的性质可判断y=2

8、x

9、的对称轴是y轴；根据反比例函数得到y=6／x关于直线y=x和y=﹣x对称；根据二次函数的性质得到y=x2的对称轴为y轴，y=（x﹣1）2+2的对称轴为直线x=1，然后根据新定义进行判断．解：y=2

10、x

11、，当x＞0，则y=2x；当x＜0，则y=﹣2x，所以y=2

12、x

13、的对称轴是y轴，该函数为偶函数；y=6／x关于直线y=x和y=﹣x对称，所以y=不是偶函数；y=x2的对称轴为y轴，所以y=x2为偶函数；y=（x﹣1）2+2的对称轴为直线x=1，所以y=（x﹣1）2+2不是偶函

14、数，偶函数的个数为2个3.函数y=

15、x+3

16、﹣

17、3﹣x

18、是奇函数还是偶函数？分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解：∵f（﹣x）=

19、﹣x+3

20、﹣

21、3+x

22、=﹣（

23、x+3

24、﹣

25、3﹣x

26、）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，4.如果函数y=x2﹣2ax+6是偶函数，求a的值分析：运用偶函数的定义得出f（﹣x）=f（x），即x2+2ax+6=x2﹣2ax+6恒成立，得出2a=﹣2a，即可解：∵函数y=x2﹣2ax+6是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2+2ax+6=x2﹣2ax+6恒成立，2a=﹣2a，解得a=05.①已知

27、函数f（x）=ax2+2x是奇函数，求实数分析：由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法解：由奇函数定义有f（﹣x）=﹣f（x），则f（﹣1）=a﹣2=﹣f（1）=﹣（a+2），解得a=0②如果函数f（x）=+a是奇函数，求a的值分析：函数的定义域为R，利用奇函数f（0）=0，得到a解：因为函数的定义域为R，并且函数是奇函数，所以f（0）=0，即+a=0，解得a=-1；③已知f（x）=+a是奇函数，求a的值及函数值域分析：本题考察函数奇偶性的性质，由题意可得f（﹣1）+f（1）=0，可得a值，再由定义域和反比例函数以及

28、不等式的性质可得函数的值域解：由2x﹣1=≠0可得x≠0，可得函数的定义域为{x

29、x≠0}，∵f（x）=+a是奇函数，∴f（﹣1）+f（1）=0，∴+a++a=0，解得a=，∴f（x）=+，∵x≠0，∴2x＞0且2x≠1，∴2x﹣1＞﹣1且2x﹣1≠0，∴＞0或＜﹣1，∴+＞或+＜﹣，∴函数的值域为（-∞，-）∪（，+∞）④函数y=f（x）是定义在[2a+1，a+5]上的偶函数，求a的值分析：由偶函数的定义域关于原点对称得，2a+1+a+5=0，再求出a的值解：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴2a+1+a+5=0，解得a=﹣2

30、，-4-6.①已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax（a∈R），f（2）=6，求a分析：先根据函数的奇偶性求出f（﹣2）的值，然后将x=﹣2代入小于0的解析式，建立等量关系，解之即可．解：∵函数y=f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），而f（2）=6，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣6，将x=﹣2代入小于0的解析式得f（﹣2）=4﹣2a=﹣6，解得a=5②已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，求f（﹣2）的值．分析：首先，根据函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，

31、得到f（﹣2）=f（2）=22﹣2×2=0，从而得到结果．解：∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-2）=f（2）=22﹣2×2=0，∴f（-2）=0，∴f（-2）的值07.①已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=3x2﹣5x+2，求f（x）在R上的表达式．分析：设x＜0，则﹣x＞0．利用当x＞0时，f（x）=3x2﹣5x+2，可得f（﹣x）=3x2+5x+2．再利用奇函数的性质即可得出解：设x＜0，则-x＞0．∵当x＞0时，f（x）=3x2﹣5x+2，∴f（﹣x）=3x2+5x+2．∵函数f

32、（x）是定义域为R的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣3x2﹣5x﹣2，又f（0）=0．∴f（x）=②已知函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x﹣1，求f（x﹣1）＜0的解集分析：由函数y=f（x）为偶函数可得f（﹣x）=f（x），由x≥0时，f（x）=x﹣1可