幂函数题型及解析

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1、幂函数题型及解析1.（1）下列函数是幂函数的是________y=x2，y=（）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1）分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x2和y=x．解：由幂函数的定义知，y=x2，y=（）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1），七个函数中是幂函数的是y=x2和y=x，（2）①y=x2+1；②y=2x；③y=；④y=（x﹣1）2；⑤y=x5；⑥y=xx+1分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即

2、可．解：根据幂函数y=xα，α∈R的定义知，①y=x2+1不是幂函数，②y=2x不是幂函数，③y==x﹣2是幂函数，④y=（x﹣1）2不是幂函数，⑤y=x5是幂函数，⑥y=xx+1不是幂函数；综上是幂函数的为③⑤2.已知幂函数y=f（x）的图象过点（9，）.（1）求f（x）的解析式；（2）求f（25）的值；（3）若f（a）=b（a，b＞0），则a用b可表示成什么？分析：（1）设出幂函数f（x）的解析式，根据图象过点（9，），求出函数解析式；（2）根据函数的解析式求出f（25）的值；（3）根据函数的解析式求出a与b

3、的关系．解：（1）设幂函数f（x）=xt，∵图象过点（9，），∴；即32t=3﹣1，∴，∴；（2）∵f（x）=，∴f（25）=25-0.5===；（3）∵f（a）=a-0.5=b，∴a-0.5＝b，∴a﹣1=b2，∴a=．3.比较下列各组中两个值的大小（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3），；（4）（）﹣0.24与；（5）3.10.5，3.12.3；（6）（）﹣1.5，（）﹣1.8；（7）0.62，0.63；（8）（）﹣0.3，（）﹣0.24分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性

4、质，逐个题目比较可得．解：（1）∵幂函数y=在（0，+∞）单调递增，∴＜；（2）∵幂函数y=x1.5在（0，+∞）单调递增，∴0.71.5＞0.61.5；（3））∵幂函数y=在（﹣∞，0）单调递增，∴＞；（4）∵0＜＜1，﹣0.24，∴（）0.24＜；（5）3.10.5＜3.12.3；（6）（）﹣1.5＞（）﹣1.8；（7）0.62＞0.63；（8）（）﹣0.3＜（）﹣0.244.若函数y=（m2+2m﹣2）xm为幂函数且在第一象限为增函数，求m的值②已知幂函数y=（m2﹣m﹣1）xm2﹣2m﹣3，当x∈（0，+

5、∞）时为减函数，求幂函数分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出m的值即可解：①∵函数y=（m2+2m﹣2）xm为幂函数且在第一象限为增函数，∴m2+2m-2=1且m＞0；解得m=1-4-②解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1）xm2﹣2m﹣3，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x∈（0，+∞）时y为减函数，∴当m=2时，m2-2m-3=﹣3，幂函数为y=x-3，满足题意；当m=-1时，m2-2m-3=0，幂函数为y=x0，不满足题意；综上幂函数y=x-35.幂函数y=（m2﹣3m+3）xm是偶函数，求m

6、的值分析：根据幂函数的定义先求出m的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可．解：∵函数是幂函数，∴m2﹣3m+3=1，即m2﹣3m+2=0，则m=1或m=2，当m=1时，y=x是奇函数，不满足条件．当m=2时，y=x2是偶函数，满足条件，即m=26.求函数y=的定义域和值域．分析：本题考察幂函数的概念及性质，把y=化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域．解：∵函数y==，∴x≠0，且y＞0；∴函数y的定义域是{x

7、x≠0}，值域是{y

8、y＞0}7.求函数y=0.2﹣x2﹣3x+4的定义域、值域和单调区间．分析：根据

9、二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可．解：令f（x）=﹣x2﹣3x+4=﹣（x2+3x+）+=﹣+，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，∴函数y=0.2﹣x2﹣3x+4在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，∴ymin==，∴函数y=0.2﹣x2﹣3x+4的定义域是R、值域是[，+∞），在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增8.已知幂函数y=（m∈Z）的图象与y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象分析：由题意得4-3m-m2＞0解得﹣4＜m＜1，又因为图象关于y轴

10、对称，所以4﹣3m﹣m2必须为偶数，故m=0，﹣1，﹣2，﹣3，即可画出图象．解：由题意得4﹣3m﹣m2＞0，即有（m+4）（m﹣1）＜0，解得﹣4＜m＜1，又因为图象关于y轴对称，所以4﹣3m﹣m2必须为偶数，所以m=0，﹣1，﹣2，﹣3，m=﹣3，y=x4，m=﹣2，y=x6，m=﹣1，y=x6，m=0，y=x4其图象如图：9.已知函数y=（n∈Z）的图象与两坐标轴都