人教版高中数学必修一教案(讲义)：映射与函数(PDF版)

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1、函数及其表示教师：苗金利第3讲函数（function）及其表示一、映射（mapping）定义一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做从集合A到集合B的映射。记作“f：A→B”其中f是对应法则，A是原象集（起始集），B是包含象集的集（终止集）。f或记作“x⎯⎯→y”，f是对应法则，x是原象，y是象。（如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么，和A中的元素x对应的B中元素y

2、叫做x的象，x叫做y的原象）说明：⎧原象集A⎪（1）映射有三个要素⎨包含象集的集B⎪⎩对应法则f⎧A中每一个元素⎪（2）定义三条件⎨B中⎪⎩唯一（3）映射有向：集合A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的，不要求B中每一个元素都有原象，即B中可能有些元素不是集合A中的元素的象；⎧多对一（4）映射的要点在于“对一”⎨⎩一对一21x+练习：设A=R，B=R，fx:→是A到B的映射x（1）设aA∈，则a在B中的象是什么？（2）设tA∈，则tA+1∈，那么t＋1在B中的象是什么？（3）在映射f下，3的原

3、象是多少？（4）若s-1在映射f下的象为5，则s是多少，s在f下的象是多少？勘误：题目中A=R，改为A={正实数}二、函数1．函数定义：映射f:AB→（其中A、B是非空数集），叫函数。记作：y=（fx），其中x∈∈AyB,；原象集合A叫做函数（fx）的定义域(domain)，象集合C叫做函数（fx）的值域(range)，很显然，CB⊆；说明：（１）函数三要素：两域及对应法则（２）函数与映射的关系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广。-第1页-2．分段函数：对于定义域内的不同取值范围，函数的解析式

4、也不同。3．复合函数：若y=fuuCyB()(∈∈,)且ugxxAuCC=()(∈∈⊆,′)；则y=fgx(())（x∈AyB,∈），叫函数y=fu()与ugx=()的复合函数。例题分析例1．判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数：（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）

5、x∈RyR,∈}，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应；（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：

6、除以2的余数2（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：x→=yx11（5）A={0，1，2}，B={0，1，}，对应法则是f：xy→=2x例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？0（1）fx()(1)=−x；gx()1=2（2）f()xx=；g()xx=22（3）f()xx=；gx()(1)=x+2（4）f()

7、

8、xx=；g()xx=例3．已知函数f()()x,gx分别由下表给出：x123x123f(x)131g(x)321则f[]g()1的值；满足f[]

9、g()x>g[f(x)]的x的值.例4．求下列函数的定义域1（1）fx()=x−

10、

11、x1（2）fx()=11+x-第2页-2（3）fx()=−−+x45x24−x（4）fx()=x−12（5）fx()=−+x610x（6）fx()=−++−1xx31说明：关于函数的定义域（1）自然定义域：若对ｘ未加限制，则使f()x有意义的集合（2）复合函数的定义域：f()x中x的范围，即为f(())gx中，gx()的范围，再解x即得结果。（3）几何问题、实际问题、物理问题等，应注意变量的实际意义。⎧xx+≤2

12、(−1)⎪2例5．（1）已知fx()=−⎨x(1

13、示；（2）列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法就是用图象两表示两个变量的函数关系；说明：对于函数的解析式：（1）y=fx()表示ｙ是ｘ的函数2如：f()xxx=+−31中：-第3页-x：y：f：f（x）：f（g（x））：注意：解析式只表示一种关系，与所取字母无关。如22y=+−=+−xxmnn31,31等是一样的。（２）f()x与f(())ϕx凡是的位置换成x(ϕx)f()xf←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→(())ϕx凡是ϕ(x)的位置换成x例6．已知y(=fx)表示过点(