22、 格点与勾股

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1、华数知识点点击破陈拓老师讲义第22讲格点与勾股【内容综述】把一个几何图形画在一个正方形或正三角形的格点纸上，要求每个顶点都是格点，这样可以用正方形或正三角形把整个图形的面积“量”出来．这种求面积的方法就是格点图形面积法。1、正方形格点图形1正方形格点图形面积公式：SNL1（N表示图形内部格点数，L表示图形边界上格点数）2下面探究正方形格点图形面积公式的推导过程：1）考察边界点对整个图形面积的影响：边界点数3456„面积0.511.52„边界点数3333„内点数0123„面积0.51.52.53.5„2）推导公式：从上表不难发现，边界点每

2、增加1个，其图形面积增加0.5；内点每增加1个，其图形面积增加1．设内点数为N个，边界点数为L个，面积调整量为c，则图形面积S1N0.5Lc．我们又发现当N0，100.553c0.L3时，面积S0.5；当N2，L5时，面积S3.5；„„等等．列方程组，c0.5．从120.55c3.51而得到正方形格点面积公式为SNL1．22、正三角形格点面积正三角形格点图形面积公式：S22NL（N表示图形内部格点数，L表示图形边界上格点数）我们不妨想象成把一个正方形通过填一条对角线，变成两个三角

3、形，因此，正三角形格点面积就正方形格点面积的2倍．对于一个格点图形求面积，除了把图形画在格点纸上利用格点面积公式求面积以外，还可以把采用割补法或分割法．3、勾股定理勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是直角三角形三边的一个固定的等量关系，具体内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．B222如图，在Rt△ABC中，则abc．勾股定理的是一个普及度最高的定理，使用范围也非常广泛，吸引了许许多多ca数学家和数学爱好者探索此定理的证明．据统计，大约有几百种证明方法，这里我们学习一下赵爽证法．CAb勾股定理赵爽证法：如图1，把两个长方形如图

4、沿对角线剪成四个同样的直角三角形，它们的直角边分别为a、b，斜边为c．然后剪拼成一个边长为c的正方形．第1页华数知识点点击破陈拓老师讲义cbcabacccbabbcba图1图22212222cab4abab2ab2abab．2当直角三角形的三边都是整数时，把这三个整数称作勾股数组．特别地，三边长为整数且互质时，这三个整数称作基本勾股数组．可以把基本勾股数组a，b，c看作“队长”，带着一批“队员”ka，kb，kc(k为正整数)．如：3，4，5，6，8，10，9，12，15，„„5，12，13，

5、10，24，26，15，36，39，„„222对于勾股定理的结论abc，看作三元二次方程时，其基本勾股数组解为xm22ny2mn（m>n，且m，n1）22zmn上面赵爽证法，又称弦图法，我们称作“改斜归正法”．此法思路就是把倾斜的线段可以用水平与竖直的线段来表达．例1.1）如图1，每个小正方形的边长都为1，那么粗线围成的图形的面积为_________．222）如图2，每一个小正三角形的面积都为2cm，那么阴影部分的面积为_________cm．图1图2【分析】统计出图形内部格点数以及图形边界格

6、点数，使用格点面积公式计算．或者把图形分成几个小块，分别求出每块面积．1【解答】1）如图3，N9，L13，S913114.5．2522.55图3图4第2页华数知识点点击破陈拓老师讲义另解：如图4，把图形分成一个三角形、长方形或梯形分别求面积，如图标注．面积,522.5514.5．2）如图5，N4，L7，S247213，实际面积为21326．34312图5图6另解：如图6，把图形分成一个三角形、平行四边形或梯形分别求面积，如图标注．面积为3432113，实际面积为21326．【评注】在使用格

7、点面积公式求图形面积时候，有两点要注意：1）边界上格点数包括图形的拐点处，也包括图形边界穿过的格点；2）使用公式计算出的面积为面积的份数．求实际面积时，需要乘以每个单位图形的面积，当单位面积为1时，就是实际面积．例2.1）如图，相邻两点之间的距离为1，在这样的正方形的点阵中画出一个多边形，这个多边形的面积为_________．【分析】整体看是正方形格点图形面积，但是还有一个顶点不是正方形格点，可以考虑梯形中比例求图形面积．【解答】本题面积分为两部分，一部分采用梯形的面积，另一部分利用格点面积公式．9231）如图1，根据梯形中阴影面积S2

8、；1163412）如图2，根据格点面积S5818．2233所以，整体阴影部分面积为8=8．44SS21图1图2【评注】我们把点阵看作边长为1的正方形点