第十讲 盈亏问题

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1、学科：奥数教学内容：第十讲  盈亏问题 在日常生活中常有这样的问题：“幼儿园老师拿来一筐桔子分给小朋友吃，每人分2个则多3个，每人分3个则差4个，问小朋友有几人？”也就是把一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。像这样一类的问题，我们称为盈亏问题。盈就是多余，亏就是不足。盈亏问题就是在已知亏盈的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。这是一类典型问题，有很好的对应方法。那么盈亏问题怎么解呢？我们就从下面的例子谈起。在我国古代的算书中，《九章算术》是内容最丰富多彩的一本。在它的第七章，讲了盈亏问题，其中第一题，用现代的语言来

2、叙述，就是下面的问题。“有一些人共同买一些东西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物价是多少？”分析：“多3元”与“少4元”两者相差3＋4＝7（元）每个人要多出     8-7＝1（元）因此就知道，共有7÷1＝7（人），物价是8×7-3＝53（元）答：共有7个人一起买，物价是53元。说明：上面的3＋4可以说是两个总数的相差数。而8-7是每份的相差数。计算公式是总数相差数÷每份相差数=份数这样的问题在内容上有很多变化，形成了这一类问题，请再看一些例子。例1  妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；

3、如果每天吃6个，则又少8个苹果。那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？分析：题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果。观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个）。从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。解答：（48+8）÷（6-4）　　=56÷2　　=28（天）　　6×28-8=160（个）或4×28＋48=160（个）答：妈

4、妈买回苹果160个，计划吃28天。如果条件“每天吃4个，多出48个”不变，另一条件改为“每天吃6个，则还多出8个”，问苹果应该有多少个，计划吃多少天？分析：改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2个条件没变，苹果总数由原来多出48个变为多出8个。那么所需苹果总数要相差：48-8=40（个）解答：（48-8）÷（6-4）=40÷2=20（天）4×20＋48=128（个）或6×20＋8=128（个）答：有苹果128个，计划吃20天。例2  把一袋糖分给小朋友们，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3个小朋友分不到糖，这袋糖有多少粒？分析与解答一：

5、3位小朋友本来每人可以分到10粒，他们共有的10×3＝30（粒），分给其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有10×3÷（16-10）＝5（人）再加上这 3位小朋友，共有小朋友5＋3＝8（人）。这袋糖有10×（5＋3）＝80（粒）分析与解答二：如果我们再增加 16×3粒糖，每人都可以增加（16-10）粒，因此共有小朋友16×3÷（16-10）=8（人）这袋糖有80粒。答：这袋糖有80粒。说明：这里，16×3是总差，（16-10）是每份差，8是份数。例3  王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍。桔子每人分3个，多4个；苹果每人

6、分7个，少5个。问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？分析：和上例一样，把苹果换为桔子，就容易思考多了。解答：因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个。又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）。苹果个数为13×7-5=86（个）桔子数为13×3+4=43（个）答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子。再看三个稍复杂的例子。有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。例4  用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米。求绳子长度和井深。分

7、析：这还是一个盈亏问题，为了帮助思考，我们画一个示意图，见下图。从图中看出，当绳子长一定，井深度一定，绳子折2折比井深多5米，实际意思是绳子长度是井深的2倍多10米［即5×2=10（米）］。 绳子折3折，差4米，就是说绳子的长是井深的3倍差12米［即4×3=12（米）］，由此我们就很容易计算出绳子长和井深了。解答：井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米）或者（22-4）×3=18×3=54（米）答：井深22米，绳长54米。例5  小明从家去学校，如果每分钟走 80米，能在上课前6分钟到校

8、，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，