奥数：第十二讲 盈亏问题

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1、第十二讲盈亏问题　　解盈亏问题，常常用到比较法。　　例1三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？　　分析比较两种搬砖法中各个量之间的关系：　　每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。　　第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9（块）　　每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。　　共有砖：4×9＋7＝43（块）。　　解：（7+2

2、）÷（5-4）=9（人）　　4×9+7=43（块）或5×9-2=43（块）　　答：共有少先队员9人，砖的总数是43块。　　如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先队员，有多少块砖吗？　　由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对这题来说就是搬砖的人数.　　例2妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天

3、？　　分析题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。　　解：（48+8）÷（6-4）　　=56÷2　　=28（天）　　6×28-8=160（个）或4×28＋48=160（个）　　答：妈妈买回苹果160个，

4、计划吃28天。　　如果条件“每天吃4个，多出48个”不变，另一条件改为“每天吃6个，则还多出8个”，问苹果应该有多少个，计划吃多少天？　　分析改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2个条件没变，苹果总数由原来多出48个变为多出8个.那么所需苹果总数要相差：48-8=40（个）　　解：（48-8）÷（6-4）　　=40÷2　　＝20（天）　　4×20＋48=128（个）或6×20＋8=128（个）　　答：有苹果128个，计划吃20天.　　例3学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到

5、校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？　　分析小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10=600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50＝10（米），就可以多走600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。　　解：①10分种走多少米？60×10＝600（米）　　②8分种走多少米？50×8＝400（米）　　③需要多长时间？　　（60

6、0+400）÷（60-50）=20（分钟）　　④由家到校的路程：　　60×（20-10）=600（米）　　或：50×（20-8）=600（米）　　答：小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。　　例4学校为新生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？新生有多少人？　　分析每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15（人）.由此可见，每一个房间增加5-3=2（人）.两次安排人数总共相差23+15＝

7、38（人），因此，房间总数是：　　38÷2=19（间），学生总数是：3×19+23＝80（人），或者5×19-5×3=80（人）。　　解：（23+5×3）÷（5-3）　　＝（23＋15）÷2　　＝38÷2　　＝19（间）　　3×19+23=80（人）或5×19-5×3＝80（人）。　　答：有19间宿舍，新生有80人。　　例5少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？　　分析这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个

8、已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6-4）×2＝4（棵）.因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗