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时间:2019-08-17
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1、抛物线高考要求掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质知识点归纳1抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.注:圆锥曲线统一定义:平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹,当0<e<1时,表示椭圆;当e=1时,表示抛物线;当e>1时,表示双曲线2抛物线标准方程的四种形式:设,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点(0,0)离心率焦半径3抛物线的图像和性质:(1)焦点坐标是:,(2)准线方程是:。(3)顶点是焦点向准线所作垂线段中点,顶点平分焦点到准线
2、的垂线段:。(4)焦准距:(5)焦半径公式:若点是抛物线上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:,(6)焦点弦长公式:过焦点弦长(7)通径:过焦点垂直于轴的弦长为。这是过焦点的所有弦中最短的(8)焦半径为半径的圆:以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。(9)焦半径为直径的圆:以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。(10)焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。(11)抛物线上的动点可设为P或或P4一般情况归纳:方程图象焦点准线定
3、义特征y2=kxk>0时开口向右(k/4,0)x=─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x=─k/4的距离k<0时开口向左x2=kyk>0时开口向上(0,k/4)y=─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─k/4的距离k<0时开口向下题型讲解一抛物线的方程例1求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:(1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上分析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论解:(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>
4、0),∵过点(-3,2),∴4=-2p(-3)或9=2p·2∴p=或p=∴所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y,前者的准线方程是x=,后者的准线方程是y=-(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2)当焦点为(4,0)时,=4,∴p=8,此时抛物线方程y2=16x;焦点为(0,-2)时,=2,∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y,对应的准线方程分别是x=-4,y=2点评:这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解例2如下图所示,直线相交于点M,
5、,点,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等若为锐角三角形,,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程分析:由题意所求曲线段是抛物线的一部分,求曲线方程需建立适当的直角坐标系,设出抛物线方程,由条件求出待定系数即可,求出曲线方程后要标注x、y的取值范围解:以MN中点为原点,MN所在直线方程为x轴建立直角坐标系,设曲线方程为由得:,又,,解得由锐角为三角形,,,又故所求曲线方程为:点评:本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的能力
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