关于容斥原理A+2B+3T公式的理解与运用

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1、【天字专题】关于容斥原理Ａ+2B+3T公式的理解与运用请尊重作者的成果，未经允许，禁止转贴！　谢谢合作！   容斥原理类型的题目的难点就在于在运算的时候，计数的重复，遗漏问题。容斥原理的基本思想：先不考虑重叠的情况，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结既无重复也无遗漏。   这种类型是目前国家、各地区公务员考试的“常客”题型，对于大部分应试者来说，还是比较头痛的一种类型。因此大家需要认真去对待掌握。特别是对于基础的图形模型要了然于胸。   容斥原理类型我们一般通过两种方法去解决，公式法和韦

2、恩图解法。图解法是通过画图来求解，相信大家都能做到，这里介绍的一下公式法。 核心公式： （1）两个集合的容斥关系公式：     A＋B=A∪B＋A∩B （2）三个集合的容斥关系公式：     A＋B＋C=A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C 另外还将下面另外一种方程式的公式，首先请参考下图，通过一个例题来理解。  【例题】假设有100人参加了三个兴趣小组。其中参加数学兴趣小组的有55人，参加语文兴趣小组的有65人，参加英语兴趣小组的有70人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是31人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是40人，同时参加语文

3、和英语兴趣小组的有25人，则三个兴趣小组都参加的人数是多少人？ （1）      A+B+T=总人数（无重叠） （2）      A＋2B＋3T＝至少参加其中一个兴趣小组的人数（含重叠部分） （3）      B＋3T＝至少参加两个兴趣小组的人数（含重叠） 这里介绍一下A、B、T分别是什么 A＝x＋y＋z；表示只参加一个兴趣小组的人数，在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。 B＝a＋b＋c；表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分总和（不含中间的T区域） T＝全部都参加的人数。也就是图形当中最中间的部分T。 例题通过公式有如

4、下解法： （1）      A＋B＋T＝100； （2）      A＋2B＋3T＝55＋65＋70＝190 （3）      B＋3T＝31＋40＋25＝96 实际上我们要求的是T，  （1）＋（3）－（2）＝T。即得到答案T＝100＋96－190＝6 【09国家】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是：                     A．15    B．16    C．14    D．1

5、8  【解答】答案为B。这就是典型的容斥原理图形。求解的阴影面积即为三个集合都相交的区域。根据公式 （1）      A＋B＋T＝290 （2）      A＋2B＋3T＝64＋180＋160＝404 （3）      B＋3T＝24＋70＋36＝130 （1）＋（3）－（2）＝T＝290＋130－404＝16  故答案是16 【09江苏】某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是 A．69人  B

6、．65人  C．57人  D．46人 【解答】答案为D。根据公式，此题要求的实际上是B，剔除没有看电影的人数，也就是说没有参与这个集合的人数20人，实际参与这个集合的人数是125－20＝105人 （1）      A＋B＋T＝105 （2）      A＋2B＋3T＝89＋47＋63＝199 （3）      T＝24 B＝（2）－（1）－2T＝199－105－48＝46 【例题】甲、乙、丙三个人共解出20道数学题，每人都解出了其中的12道题，每道题都有人解出。只有一人解出的题叫做难题，只有两人解出的题叫做中等题，三人解出的题叫做容易题，则难题比

7、容易题多（）题? A．6  B．5  C．4  D．3 【解答】答案为C。稍微整理一下题目，难题也就是三个圆圈中不参与重叠的部分，也就是公式当中的A所表示的；中等题目是只重叠过1次，也就是公式当中的B，简单题则是公式当中的T。 （1）      A＋B＋T＝20 （2）      A＋2B＋3T＝12×3＝36 要求解的是A－T＝？；通过上述两个表达式变型可得到： （1）×2－（2）＝A－T＝20×2－36＝4  故此题选C。