高等数学容斥原理公式

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1、高等数学容斥原理公式　　n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m－∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m＋∑n(Ai∩Aj∩Ak)－…＋(-1)^m-1)n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m　　两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩:重合的部分）　　三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C　　详细推理如下：　　１、等式右边改造=｛【（A+B-A∩B）+C-B∩C】-C∩A｝+A∩B∩C    ２、文氏图分块标记如右图图：１２４５构成Ａ，２３５６构成Ｂ，４５６７构成Ｃ　　３、等式右边（）里指的是下图的１+２+３+４+５+６六部分

2、：　　那么A∪B∪C还缺部分７。　　　４、等式右边【】号里+Ｃ（４+５+６+７）后，相当于A∪B∪C多加了４+５+６三部分，　　减去B∩C（即５+６两部分）后，还多加了部分４。　　　５、等式右边｛｝里减去C∩A（即４+５两部分）后，A∪B∪C又多减了部分５，　　则加上A∩B∩C（即５）刚好是A∪B∪C。编辑本段容斥原理1　　如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B=A+B-A∩B)　　例1　一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学

3、有多少人？分析　　依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。答案　　15+12-4=23试一试　　电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？　　100-(62+34-11)=15编辑本段容斥原理2　　如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个

4、数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）例2　　某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？　　分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是

5、C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。　　答案：25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3例3　　在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？　　分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还

6、不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。例4　　分母是1001的最简分数一共有多少个？　　分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。　　解答：1~1001中,有7的倍数1001/7=143(个)；有11的倍数1001/11=91(个),有13的倍数1001/13=77(个)；有7´11=77的倍数1001/77=13(个),有7´13=91的倍数1001/91=11(个),有11´

7、;13=143的倍数1001/43=7(个).有1001的倍数1个.　　由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.例5　　某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有