相似三角形讲义

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1、WeslonInternationalEducation西伦国际教育相似三角形知识点1相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.知识点2比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．例题⒈若AB=1m，CD

2、=25cm，则AB∶CD=；若线段AB=m,CD=n，则AB∶CD=.⒉若MN∶PQ=4∶7，则PQ∶MN=，MN=PQ，PQ=MN。知识点3比例的性质基本性质：(1)；(2)．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，，，，，，．更比性质(交换比例的内项或外项)：反比性质(把比的前项、后项交换)：．合比性质：SurvivingbyqualityDevelopingbyspecial以教学质量求生存以教学特色谋发展WeslonInternationalEducation西伦国际教育．注意：实际上，比例的

3、合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．等比性质：如果，那么．注意：(1)此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．例题1若线段a，b，c，d成比例，其中a=5㎝，b=7㎝，c=4㎝，则,d=．2若a·b=c·d则有a∶d=；若m∶x=n∶y,则x∶y=.3已知4x－5y=0，则（x＋y）∶（x－y）的值为　　　　．4若x∶y∶z=2∶7∶5，

4、且x－2y＋3z=6，则x=，y=，z=；5设==，则=___，=____.；其中．知识点4比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．知识点5黄金分割把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中

5、≈0.618．例题1已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC∶AB=.知识点6相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．SurvivingbyqualityDevelopingbyspecial以教学质量求生存以教学特色谋发展WeslonInternationalEducation西伦国际教育相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角

6、和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．知识点7相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：，∽．知识点8相似三角形的等价关系(1)对称性：若∽，则∽．(2)传递性：若∽，且∽，则∽．知识点9三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两

7、边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边

8、与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角