偏微分方程：宇宙客观真理的化身

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1、偏微分方程：宇宙客观真理的化身叶高翔一般而言，人类的科学事业大致可分为两个阶段：第一阶段是从公元前3000年至公元16世纪，我们把它称为经验科学阶段；第二阶段是从16世纪至今，科学发展进入了一个突飞猛进的阶段，我们称之为精确科学阶段。一.缺乏精确性的经验科学在经验科学阶段，人类的科学事业处于初级发展时期，科学发展主要依靠人的“经验”。经验从实践中来，一般以定性为特征，很少采用精确数字描述，基本不用数学，至多采用初等数学。经验科学的一般范式可归纳如下:因为前人操作A过程得到B结果，所以后人也可以操作A过程得到B结果，

2、并且A过程和B结果均为定性或半定量描述，带有主观痕迹。在经验科学阶段，人类在陶瓷、冶炼、火药、造纸、古代医术、几何光学、静磁学、静电学、天文学、声学等方面取得了许多重大突破。在古代中国，中医学的发展带有鲜明的经验科学特征，例如战国时期成编的《黄帝内经》、明朝时期成书的《本草纲目》等均为典型的经验科学论著。中医的明显疗效使人们确信此类经验方法的有效性，并在过去几千年的历史长河中不断发展和传承。人们到中草药行抓药，只见药剂师凭借手感，将几两或几钱的某种草药分成数堆;煎熬中草药时，病人被告知要“温度适中”或“文火煎药”，

3、但没有被告知具体的温度和升温降温曲线。中医学用草药治病，但不必知道草药中的具体化学成分。当年，李时珍知道“用青蒿一把，加水二升，捣汁服”可以治疗疟疾寒热，但他并不知道草本植物青蒿内的化学成分青蒿素的分子式及其精确含量。当老中医将手中的狗皮膏药放在明火上烘烤后贴在病人患处时，他并不知道此时那张狗皮膏药的实际温度，也不知道药分子向皮肤内扩散的速度和浓度衰减曲线。从精确科学的角度来看，中国古代发明的狗皮膏药对关节炎等疾病的治疗原理是现代物理学中“原子分子扩散原理”的最早应用，而扩散原理偏微分方程的建立和精确求解则是在牛顿

4、和莱布尼茨发明微积分理论之后完成的。经验科学以定性的“经验”为基础，直接导致以下三个问题：(1)由于定性的“经验”往往带有一定的主观性，因此以经验为基础的推理或判断失误概率较大，容易导致错误的结果。例如，炎炎夏日，当我们经太阳暴晒后，来到树荫底下时，即刻感到凉快;但当我们从空调房间出来，来到同样的树荫底下时，却会感到很热。这是因为人对温度的感知不仅取决于其绝对值的大小，还要受温度正负变化量的影响。(2)定性的“经验”导致精确重复实验的难度很大，“经验”和相关技术的传承成为难题，导致大量优秀技术失传。例如，在陶瓷的烧

5、制过程中，如果仅凭肉眼观察炉火颜色来判断炉温，对整个烧制过程中的升温、保温和降温只凭经验控制，那么，即使偶尔获得少量精美的陶器、瓷器，也很难再次精确重复，所获产品的成品率不高，其质量的重复性和一致性也相对较低。(3)在经验科学阶段，定性归纳推理成为主要的推理范式。由于没有采用精确的高等数学进行抽象概括和演绎推理，因此要揭示本质性的自然规律几乎没有可能。二.蕴藏真理化身的精确科学16世纪以后，人类对自然规律的揭示向纵深发展，精确科学研究范式逐渐成形。据说在1590年，意大利物理学家伽利略曾在比萨斜塔上做自由落体实验，

6、将两个大小不同的铁球从塔顶相同高度同时扔下，结果两个铁球同时着地，由此发现了自由落体运动的规律。此外，伽利略还发现了经典力学中的相对性原理、惯性定律和运动合成原理，发明了望远镜、温度计，证明了“日心说”、太阳自转等。尤其是他把数学方法与实验测量相结合，将理论与实验相互映证，开创了现代精确科学的研究范式：(a)精确实验，总结实验规律；(b)提出假说，定量解释实验规律；(c)根据假说，利用数学演绎和逻辑推理，获得推论或预言；(d)对推论或预言进行客观、精确定量、任意可重复的实验检验；(e)修改理论及假说；(f)实验检验

7、假说和理论；.....上述精确科学研究范式由伽利略率先倡导，后人不断完善而成，故也被称为“伽利略科学研究范式”，它是现代一切自然科学的一般研究范式。该范式要求对实验和理论进行客观、精确定量、任意可重复地循环对比、修正和提高，从而不断提升理论与实验的精确程度和符合程度，最终揭示宇宙客观规律(真理)。1.客观、精确定量、任意可重复对精确科学研究范式而言，“客观”是指科学实验结果的客观性，即只要实验条件严格一致，实验结果便唯一确定，与实验操作者、实验进行的时间或地点等均没有关系;“精确定量”要求科学实验必需用数字、函数或

8、微分方程精确定量描述和演绎;“任意可重复”是指科学家在时间、体力、脑力、资金、仪器设备等允许的范围内，可任意次重复实验过程。请注意，这里并没有要求无限次可重复。从“可重复”上升至“任意可重复”，不仅代表实验重复次数的提升，更规定科学对实验重复次数的选取法则;从“无限可重复”下降至“任意可重复”，表明科学实验重复次数的有限性和相对性，体现了科学的真实意义所在，