两个计数原理应用学案老师

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1、高二数学选修2-3SX-2012---002《分类加法计数原理和分步乘法计数原理(二)》导学案编写人:何国雄审核人：高二数学组编写时间：2012.11.2班级组别组名姓名【学习目标】1．进一步理解两个计数原理，会区分“分类”与“分步”，2．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题．【学习重点】正确理解“完成一件事情”，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。【学习难点】分类加法计数原理和分步乘法计数原理综合应用。【学法指导】试验观察，自主探究【知识链接】1.加法原理：完成一件事情，有n类办

2、法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法…在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.要点:各类办法相互独立,每种方法都能完成事件.2.乘法原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.要点:各个步骤相互依存,每个步骤都完成了才能完成事件.【学习过程】知识点一：复杂问题先分类,再在各类中分步解决例1．集合，．从、中各取1个元素作为点的坐标．（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一

3、象限的有几个？解；（1）一个点的坐标有、两个元素决定，它们中有一个不同则表示不同的点．可以分为两类：(中的元素为，中的元素为)或(中的元素为，中的元素为)，共得到3×4＋4×3＝24个不同的点．（2）第一象限内的点，即、均为正数，所以只能取、中的正数，共有2×2＋2×2＝8个不同的点．小结：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．变式1:—第4页—有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书

4、5本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？解：取出不是同一国文字的书2本，可以分为三类：中英、中日、英日，而每一类中又都可分两步来取，因此有种不同的取法．变式2:12支篮球队分成两组分别进行分主场客场的循环初赛，每组取前2名共4个队进行单循环决赛，共有多少场比赛？N=6×5+6×5+×4×3=66知识点二：涂色问题例2.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

5、第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。变式3:有n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在①、②、③、④四个区域中相邻（有公共边界）的区域着不同种颜色：①②③④①②③④图甲图乙（1）若n=6，则为甲着色时共有多少种不同的方法？（2）若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值。分析：完成着色这件事共分四个步骤。可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由分步计数原理确定总的着色方法数。解（1）为①着色

6、有6种不同的方法，为②着色有5种，为③着色有4种，为④着色也有4种。所以共有着色方法N=6×5×4×4=480种（2）与甲区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块。同理可以得到着色方法种n(n-1)(n-2)(n-3)。所以有：n(n-1)(n-2)(n-3)=120解之：n=5。知识点三：按特殊“对象”进行“两分法分类”例3．某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“—

7、第4页—多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的2人中选出，放这类选法共有6×2＝12种，因此有种．故共有20种不同的选法．小结：像本题中的“多面手”可称为特殊“对象”，本题解法中按特殊“对象”进行“两分法分类”是常用的方法．变式4:某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌

8、与跳舞的各1人，有多少种不同的选法？解：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人，既会唱歌又会跳舞的有2人.第一类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从只会跳舞的3人中任选1人，共有5×3=15（种）不同的选法；第二类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从既会唱歌