101分类计数原理与分步计数原理

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1、10.1分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.例1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例

2、2.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？总结——分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.精选练习：1.从数集到数集的不同的映射个数是多少？2.4名运动员争夺三项冠军（无并列），不同的结果有多少

3、种？3．4名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方式有多少种？4.1~200的自然数中，有多少个各位数上都不含数字5的个数？5.的展开式中所有不同项的项数是多少个？10.2排列引入——问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？（元素）问题2：从这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同排法？一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素

4、的排列顺序也相同）从n个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.对问题1，是求从3个不同元素中取出2个不同的元素的排列数，它记为，对问题2，是求从4个不同元素中取出3个不同的元素的排列数，它记为，问：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？呢？呢？（按依次填空位的方法来考虑……）（）此公式称为排列数公式.（计算）n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.这时排列数就记做,其中.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示.所以一般地，即有排列数公式当时，为使上面公式在时继续适用

5、，我们规定例1.简单排列问题某年全国足球甲级(A组)联赛共有14对参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？例2.(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要送3本给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例3.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？例4.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？精选练习：1.某元素必(不)居某位7人排成一排

6、，根据下列条件，分别求各有多少种不同的排法？(1)甲只能排中间(2)甲、乙两人必须排两头(3)甲不在两头2.某些元素(不)相邻四男三女排成一排，接下列要求各有多少种不同排法？(1)男女生各排在一起(2)女生一定不相邻(插空法)(3)甲、乙两人相邻，其它条件不限3.数字排列问题用0到6七个数字组成没有重复数字的五位数，按下述要求，分别求出其个数：(1)大于25000；(2)能被5整除；(3)偶数4．两类元素互不相邻三男三女相间排列，求排列种数？5．某些元素次序一定规定次序一定，求有多少种不同排法？6．卡片问题现有0，3，4，5，6，7六张卡片，由这六张卡片

7、可以组成多少个不同的3位数？（允许卡片6可当9用）（首位数非零）10.3组合引入——问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的方法？一般地，从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(组合与元素的顺序无关)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.对于“从4个不同元素中取出3个元素的排列数”，可以这样理解：先考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；再对每一个组合中的3个不同元素作全排列，各有个.根据分步记数原理，得，因此，.一般

8、地，得组合数公式：（其中）(计算：，；证明：；写出从5个元素中任取2个元素的所有