§2数理统计中常用的抽样分布

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1、总体、样本、样本观察值的关系总体样本样本观察值理论分布统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体统计量定义：设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,f(X1,X2,…,Xn)是关于X1,X2,…,Xn的一个连续函数且f(X1,X2,…,Xn)中不含有任何未知参数,则称f(X1,X2,…,Xn)是样本(X1,X2,…,Xn)的一个统计量.设(x1,x2,…,xn)是相应于样本(X1,X2,…,Xn)的样本值,则f(x

2、1,x2,…,xn)称是f(X1,X2,…,Xn)的统计量值.常用的统计量设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,则注意:若总体均值E(X)存在，总体方差D(X)存在，则由X1,X2,…,Xn的独立性及同分布性，有证明定理:设总体X的均值为μ,方差为σ2,(X1,X2,…,Xn)是X的一个样本,则有定理:设总体X的均值为E(X)=μ,方差D(X)=σ2,(X1,X2,…,Xn)是X的一个样本,则有证明解因为§2数理统计中常用的抽样分布§2.1χ2分布§2.1.1χ2分布的概念χ2分布的的密度函数的示意图§2.1.2χ2分布的构造定理:设X1,X2,…,Xn

3、是相互独立的随机变量,且Xi~N(0,1),则统计量§2.1.3χ2分布的性质定理:设χ12~χ2(n1),χ22~χ2(n2),且χ12与χ22相互独立,则χ12+χ22~χ2(n1+n2).证明由Γ分布的可加性即可证明.定理:若χ2~χ2(n),则E(χ2)=n,D(χ2)=2n.证明因Xi~N(0,1),故E(Xi2)=D(Xi)=1;D(Xi2)=E(Xi4)-[E(Xi2)]2=3-1=2,i=1,2,…,n于是§2.1.4χ2分布的上分位点对于(0,1)给定,称满足条件:的点χn2()为χn2分布的上分位点.aca2(n)§2.2T分布§2.2.

4、1T分布的概念T分布的的密度函数的示意图§2.2.2T分布的构造§2.2.3T分布的性质(1)f(t)关于t=0(纵轴)对称，且E(T)=0，D(T)>0(2)f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即§2.2.4T分布的上分位点设T～t(n),对于(0,1)给定,称满足条件:的点tn()为t分布的上分位点.ta(n)a注:§2.3F分布§2.3.1F分布的概念F分布的的密度函数的示意图(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O§2.3.2F分布的构造定理:设X~χ2(n1),Y~χ2(n2),且X,Y独立,则随机变量§2.3.3F分布的性

5、质定理：证明:设F~F(n1,n2),则得证!§2.3.4F分布的上分位点设F(n1,n2)，对于给定的a,0

6、特别,当σX2=σY2时,有证由F分布的构造知即由于且相互独立解解其中则解因为所以查表得因此