高阶线性常系数非齐次

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1、§7.8小结:解:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.通解.求特征根:…反之,若知道一个二阶方程有通解或有特解:…则特征方程的根为:…若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:将不同根对应的项加在一起得原方程通解(系数要区分开).§7.9常系数非齐次线性微分方程一、二、第七章二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确

2、定待定系数.①—待定系数法一、为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次

3、方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为例3.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.二、例4.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因

4、此设非齐次方程特解为例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)设2.求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为3.已知二阶常微分方程有特解

5、求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为此题若为填空题上述做法是不可取的!!!4.的通解.解:对应齐次方程为通解:令代入非齐次方程后化简得可求得通解:故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程)求

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9、作业P3471(1),(5),(6),(10);2(2),(4);*§7.10欧拉方程欧拉方程常系数线性微分方程第七章欧拉方程的算子解法:则计算繁!则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:+…例1.解:则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通

10、解为特征方程①①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确定系数,得例2.解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即②特征根:设特解:代入②解得A=1,所求通解为例3.解:则方程化为即特征根:所求通解为(04考研,填空)的通解()