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1、§7.7内容回顾非齐次方程的特解对应齐次方程通解Y+(高阶)线性非齐次方程的通解=1.线性齐次方程的解的线性组合=线性齐次方程的解2.3.n个函数在I上线性相关与线性无关的概念.线性无关常数是n阶线性齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)以上关于解的结构均可推广到n阶线性非齐次方程.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解§7.8常系数齐次线性微分方程说明:解本类方程是最简单的,只需要求特征方程(代
2、数方程)之根经转化后第七章因为他不需要积分二阶常系数齐次线性—微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①我们猜想①的解为②则微分其根称为特征根.2.当时,特征方程有两个相等实根则得微分方程有一个特解设另一特解(目的是找出与y1线性无关的解)代入方程得:是特征方程的二重根取C(x)=x,则得因此原方程的通解为(常系数变易法)也是解3.当时,特征方程有一对共轭复根原方程的通解为小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线
3、性微分方程.(推导略)得通解.若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:将不同根对应的项加在一起得原方程通解(系数要区分开).例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例3.的通解.解:令代入原方程得:特征方程:特征根:原方程通解:求的通解:注:本题为二阶方程,但不是上节中的可降阶方程也不是本节中二阶线性常系数齐次方程.对应齐次方程:特征方程:特征根:对应齐次方程通解观察一个原方程的特解原
4、方程通解:+x例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:例6.解:特征方程:即其根为方程通解:例7.解:特征方程:特征根为则方程通解:(二重根)例8(P341第5题)一圆柱形浮筒,直径D=0.5米,铅直放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的周期为2秒,求浮筒的质量.解:建数轴如图:xo●浮筒离开平衡处o的位移为x据题意得:通解(a,b为任意实数)周期所以194.96(kg).内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.思
5、考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为作业P3401(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3备用题为特解的三阶常系数线性齐次微分方程.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为原题为选择题1.解:给出以(a,b为任意常数)为通解的微分方程(1)(2)(1)+(2)得:即(2)－2×(1)得:(3)(4)将(3),(4)式代入…得:即即由通解知特征方程有根:特征方程为故所求方程为P3272(2)以…2.?是所求方程对应的齐次方程的解设是某二阶线性非齐次微分方程的解,求此微分方程.3.解:(97考研
6、)对应的齐次方程的特征方程:又所以所求微分方程为对应的齐次方程为:求幂级数的和函数．(02考研)解:收敛域显然为(-∞,+∞),设和函数为通解为(1)(2)(3)解得:特征方程4.所以和函数作业P3101(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3
