高等数学数量积向量积

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1、*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积第七章1一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积、内积)，引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为读作点乘。．2记作故有注：此两式也可以用点积来计算投影的公式例．求向量在向量方向上的投影．解故32.性质为两个非零向量,则有43.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;5例.证明三角形余弦定理证:则如图.设64.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得7例.已知三点AMB

2、.解:则求故例.在xoy面求一向量，使得且。,其中，答案：8例．已知某向量模为2，与轴、轴的夹角相等，与轴的夹角是前者的两倍，求此向量．解设所求向量为，则其方向角则且有,所以或，即或，从而或又或9例．设为单位向量，且满足，求解将上面的三式相加,得此题也利用等式点乘得出结果。10二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力111.定义定义向量方向:(叉积、外积)记作且符合右手规则模:向量积,称思考:右图三角形面积S＝右手规则读作叉乘。的几何意义：以、为边的平行四边

3、形的面积．注：122.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:13在空间直角坐标系中iijjkk?ij?jk?ki?讨论：提示：iijjkk0,ijk,jki,kij.144.向量积的坐标表示式设则15向量积的行列式计算法(行列式计算见P339～P342)16例设a(2,1,-1),b(1,-1,2),计算ab.设aaxiayjazk,bbxibyjbzk,则(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.解=2i-i-4j-j-

4、2k-k=i5j3k.注：设为非零向量，则17例.已知三点角形ABC的面积。解:如图所示,求三18例．已知，求一个单位向量，使之既垂直于又垂直于．，解一根据向量积的定义，满足既垂直于又垂直于．可得：解二设所求向量为，利用题中条件解三个方程组，可得，，即．19*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其202.混合积的坐标表示设213.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)22内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:23混合积:2.向量关系:24

5、思考与练习1.设计算并求夹角的正弦与余弦.2.用向量方法证明正弦定理:3．设，，求向量间的夹角．4.已知向量的夹角且25思考与练习1.设计算并求夹角的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:26证:由三角形面积公式所以因273．设，，求向量间的夹角．：，：两式相减解得且,且解2841.已知向量的夹角且解：29在顶点为三角形中,求AC边上的高BD.解：三角形ABC的面积为5.而故有30作业P3103,4,6,7,9(1);(2),10,1231