高等数学 数量积 向量积

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1、二、两向量的向量积§7．4数量积向量积一、两向量的数量积数量积、数量积与投影、数量积的性质、数量积的运算律数量积的坐标表示、两向量夹角的余弦的坐标表示向量积、向量积的性质、数量积的运算律数量积的坐标表示、数量积的行列式符号设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2．以s一、两向量的数量积数量积的物理背景：表示位移．由物理学知道，力F所作的功为W

2、F

3、

4、s

5、cos，其中为F与s的夹角．数量积：对于两个向量a和b，它们的模

6、a

7、、

8、b

9、及它们的夹角记作a·b，即a·b

10、a

11、

12、b

13、cos．(0≤θ≤π)的余弦的乘积

14、称为向量a和b的数量积，M1M2数量积与投影：由于

15、b

16、cos

17、b

18、cos(a,^b)，当a0时，

19、b

20、cos(a,^b)是向量b在向量a的方向上的投影，于是a·b

21、a

22、Prjab．同理，当b0时，a·b

23、b

24、Prjba．即两个向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在此向量方向上的投影的乘积数量积的性质(1)a·a

25、a

26、2．(2)对于两个非零向量a、b，如果a·b0，则ab；反之，如果ab，则a·b0．如果认为零向量与任何向量都垂直，则aba·b0．（充分必要条件）数量积的运算律：(1)交换

27、律a·bb·a；(2)分配律：(ab)·ca·cb·c．(3)(a)·ba·(b)(a·b)，(a)·(b)(a·b)，、为数．数量积的坐标表示：设aaxiayjazk，bbxibyjbzk．按数量积的运算规律可得a·b(axiayjazk)·(bxibyjbzk)axbxi·iaxbyi·jaxbzi·kaybxj·iaybyj·jaybzj·kazbxk·iazbyk·jazbzk·kaxbxaybyazbz．两向量夹角的余弦的坐标表示：当a0

28、、b0时，由于a·b

29、a

30、

31、b

32、cos，所以cos．两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积之和例1已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB．因为所以解AMB就是向量MA与MB的夹角．MB{1，0，1}．MA{1，1，0}，MA·MB1110011，二、两向量的向量积向量积的物理背景：量M，设O为一根杠杆L的支点．有一个力F作用于这杠杆上P点处．力F对支点O的力矩是一向它的模M的指向是的按右手规则从由力学规定，平面，OLQ)qF与OP的夹角为．OP以不超过的角转向F

33、来确定的．而M的方向垂直于OP与F所决定的

34、M

35、

36、OP

37、

38、F

39、sin，PF向量积：设向量c是由两个向量a与b按下列方式确定：c的模

40、c

41、

42、a

43、

44、b

45、sin，其中为a与b间的夹角；规则从a转向b来确定．那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作ab，即c=ab．c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向是的按右手M=OPF．因此，上面的力矩阵M等于OP与F的向量积，即向量a与b的向量积的模的几何意义为：以向量a与b为邻边的平行四边形面积，即S=︱ab︱向量积的性质：(1)aa0（aa=︱a︱*︱a︱）(2)

46、对于两个非零向量a、a，如果ab0，则a//b；反之，如果a//b，则ab0．(充分必要条件)如果认为零向量与任何向量都平行，则a//bab0．︱ab︱=︱a︱︱b︱sinθ=0向量积的运算律：(1)交换律abba；(2)分配律：(ab)cacbc．(3)(a)ba(b)(ab)(为数)．讨论：iijjkk?ij?jk?ki?数量积的坐标表示：设aaxiayjazk，bbxibyjbzk．按向量积的运算规律可得ab(axiayja

47、zk)(bxibyjbzk)axbxiiaxbyijaxbzikaybxjiaybyjjaybzjkazbxkiazbykjazbzkk．(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k．为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成ab(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k．例2已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、C(2,4,7)，求三角形ABC的面积．解根据向量积的定义，可知三角形A

48、BC的面积因此4i6j2k，ABC

49、ABAC

50、．SABC

51、AB

52、

53、AC

54、sinA由于AB{2，2，2}，AC{1，2，4}，ABAC=于是SABC

55、4i6j2k

56、解设点M到旋转轴l的距离为a，再在l轴上任取一点O作向量并以表示w与r的夹角，a