【提升练习】 《正方形的性质和判定》 （数学北师大九上）

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1、《正方形的性质》提升练习合肥市第三十八中学徐晶一．选择题（共2小题）1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，∠AED=45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（　　）A．43B．32C．2+23D．2+222．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　）cm2．A．14B．n4C．n-14D．14n　二．解答题（共3小题）3．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，

2、连结CE．（1）若点F在边BC上（如图）；①求证：CE=EF；②若BC=2BF，求DE的长．（2）若点F在CB延长线上，BC=2BF，请直接写出DE的长．4．（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM=CN，连AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．5．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°

3、，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　　；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）　参考答案　一．选择题（共2小题）1．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，

4、∵∠AED=45°，∠ACD=45°，∴A，C，E，D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为4，∴OE=OD=12BD=22，∵P为AB的中点，O是BD的中点，∴OP=12AD=2，∵PE≤OP+OE=2+22，∴当点O在线段PE上时，PE=OP+OE=2+22，即线段PE的最大值为2+22，故选：D．　2．【解答】解：图中的正方形，过ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，则易证△OEM≌△OFN，则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，如正方形ABCD的边长是1，则OMCN的面积是14，因而本题的图形中的

5、每个阴影部分的面积都相等，都是14，有n个正方形，则重合部分由n﹣1个，则总面积是n-14．故选：C．　二．解答题（共3小题）3．【解答】解：（1）①证明：∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE．又∵∠ABC=∠AEF=90°，∴∠BAE=∠EFC，∴∠BCE=∠EFC，∴CE=EF．②过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M．∵CE=EF，∴N是CF的中点．∵BC=2BF，∴CNBN=14．又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，∴CN=DM=ME，∴ED=2DM=2CN=24a

6、．（2）如图所示：过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M．∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE．又∵∠ABF=∠AEF=90°，∴∠BAE=∠EFC，∴∠BCE=∠EFC，∴CE=EF．∴FN=CN．又∵BC=2BF，∴FC=32a，∴CN=34a，∴EN=BN=14a，∴DE=324a．4．【解答】解：（1）结论：AM⊥BN．理由：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=

7、90°，∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°，∴AM⊥BN．（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，∴四边形EFPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90°，∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四边形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=22，∴△APB周长的最

8、大值=4+42．　5．【解答】解：（1）如图①AH=AB．（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，&AB=AD&∠ABE=∠ADN&BE=DN，∴Rt△AEB≌Rt△AN