函数 专题四 利用导数解决不等式恒成立中的参数问题

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1、专题四　　利用导数解决不等式恒成立中的参数问题　　　　　　　　　　王肇堃专题四　　利用导数解决不等式恒成立中的参数问题一、单参数放在不等式上型：【例题1】（07全国Ⅰ理）设函数．若对所有都有，求的取值范围．解：令，则，（1）若，当时，，故在上为增函数，∴时，，即．（2）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．∴时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．说明：上述方法是不等式放缩法．也可以用罗比达法则求解，方法如下：解：显然，当时，取任何实数成立．当时，不等式成立，等价于．令，，令，，∵，∴，∴，即在递增，

2、∴．于是，即在递增，，满足条件的的取值范围是．【针对练习1】（10课标理）设函数，当时，，求的取值范围．解：，由，当且仅当时等号成立．故，从而当，即时，，而，于是当时，．由可得．从而当时，，故当时，，而，于是当时，．综合得的取值范围为．说明：本题可采用下述方法：解：，令，，∵，∴，于是当时，，在递增，，∴，在递增，，∴．当时，由得，当时，，在递减，而，∴，即，在递减，而，∴，不满足条件，∴的取值范围为．【例题2】（07全国Ⅰ文）设函数在及时取得极值．（1）求、的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．第25页共33页专题

3、四　　利用导数解决不等式恒成立中的参数问题　　　　　　　　　　王肇堃解：（1），∵函数在及取得极值，则有，．即，解得，．（2）由（1）可知，，．当时，；当时，；当时，．∴当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．∵对于任意的，有恒成立，∴，解得或，因此的取值范围为．最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值．【针对练习2】（07重庆理）已知函数在处取得极值，其中、、为常数．（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）由题意知，因此，从而．又对求导得．由题意

4、，因此，解得．（2）由（1）知，令，解得．当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数．因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使恒成立，只需．即，从而，解得或．∴的取值范围为．【针对练习3】（10天津文）已知函数，其中．若在区间上，恒成立，求的取值范围．解：．令，解得或．针对区间，需分两种情况讨论：增极大值减①若，则．当变化时，，的变化情况如下表：∴在区间上的最小值在区间的端点得到．因此在区间上，恒成立，第25页共33页专题四　　利用导数解决不等式恒成立中的参数问题　　　

5、　　　　　　　王肇堃等价于，即，解得，又∵，∴．②若，则．当变化时，，的变化情况如下表：增极大值减极小值增∴在区间上的最小值在区间的端点或处得到．因此在区间上，恒成立，等价于，即，解得或，又∵，∴．综合①，②，的取值范围为．【例题3】（08湖南理）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．解：（1）函数的定义域是，．设．则，令，则．当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数．∴在处取得极大值，而，∴，函数在上为减函数．于是当时，，当时，．∴当时，在上为增函数．当时，，在上

6、为减函数．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）不等式等价于不等式，由知，．设，，则．第25页共33页专题四　　利用导数解决不等式恒成立中的参数问题　　　　　　　　　　王肇堃由（1）知，，即．∴，，于是在上为减函数．故函数在上的最小值为．∴a的最大值为．小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：①分离变量；②构造函数（非变量一方）；③对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；④写出变量的取值范围．【针对练习4】（10全国1理）已知，若，求的取值范围．解：，．题设等价于．令

7、，则．当，；当时，，∴是的最大值点，∴，∴的取值范围是．【针对练习5】若对所有的都有成立，求实数的取值范围．解：由题意有：在上恒成立，令，于是只需要满足，此时既不好找的零点，也不好判断它的正负，令，，∵，∴，，于是在上是增函数，，∴，∴在上是增函数，∴，∴的取值范围是．说明：以上方法参数分离构造函数法．【例题4】（13新课标Ⅰ理改编）已知函数，，若时，，求的取值范围．解法一：（变量分离法）：．①若，即时，，设函数．，∵，，∴当时，，在上递增；当时，，递减．∴，由得，即．②若，即时，．③若，即时，，由（1）知，，在上递增，∴，由得

8、．综上所述，的取值范围为．第25页共33页专题四　　利用导数解决不等式恒成立中的参数问题　　　　　　　　　　王肇堃评析：分类的标准是以，，为标准选取的，此题选取此解法简单明了，值得思考和借鉴．解法二：原答案有改动（直接构造函数法）：设函数，则．①当时，∵，，，∴