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《概率统计简明教程 第七章 参数估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第七章参数估计统计推断是数理统计的重要内容，它是指在总体的分布完全未知或形式已知而参数未知的情况下，通过抽取样本对总体的分布或性质作出推断.大致可以分为估计问题和假设检验问题两大类.本章重点介绍参数估计问题，即根据样本对总体分布中所包含的未知参数或总体的数字特征作出数值上的估计.主要内容包括：点估计和区间估计.§1点估计概述1.1点估计在许多实际问题中,可以认为总体分布的形式是已知的,它只依赖于一个或几个未知参数.如果能对分布中所含的参数作出推断,那么就可以确定总体分布.例如,已知总体服从正态分布,未知,我们的目的是通过样本提供的信息对未
2、知参数作出估计,也就是借助于样本对总体作出推断,这类问题就是参数估计问题.点估计问题的一般提法是:设总体的分布函数类型已知,为未知参数,它的可能取值范围是已知的,称为参数空间,即.这样,我们有一族分布函数.如果是正态分布的分布函数族,其中.设是的一个样本,为相应的样本值.我们构造一个统计量,以的值作为参数的真实值的估计.习惯上,称254为参数的估计量,称为的估计值为.在不致混淆的情况下,估计量与估计值都简称为估计,简记为.容易看出,对于不同的样本值来说,由同一个估计量得出的估计值一般是不相同的.在几何上一个数值是数轴上的一个点,用的估计值
3、作为的近似值就像用一个点来估计,故称为点估计.如果总体分布中含有个未知参数,则需要构造个统计量分别作为的估计量.例1．1设总体服从参数为的泊松分布,为未知参数,现有以下样本值3,4,1,5,6,3,8,7,2,0,1,5,7,9,8试求未知参数的估计值.解:由于,自然地想到用样本均值作为的估计量,利用样本值得.这样，我们获得了参数的估计量与估计值.在本例中，对于总体的一个样本，亦可以作为的估计量；同样地，和都应该可作为的估计量.这样，对于同一个参数，可以有许多不同的点估计；在这些估计中，我们自然地希望挑选一个最“优”的点估计.因此，有必要
4、建立评价估计量优劣的标准.下面介绍几个常用的标准：无偏性、有效性和一致性.1.2评价估计量的标准1.无偏性254对于不同的样本值来说,由估计量得出的估计值一般是不相同的,这些估计只是在参数真实值的两旁随机地摆动.要确定估计量的好坏,要求某一次抽样所得的估计值等于参数的真实值是没有意义的,但我们希望,这是估计量所应该具有的一种良好性质,称之为无偏性，它是衡量一个估计量好坏的一个标准.定义1.1如果未知参数的估计量的数学期望存在,且对任意,都有（1.1）则称是的无偏估计量.在科学技术中，称是以作为估计的系统误差.无偏估计的实际意义就是无系统误
5、差.例1.2设是总体的一个样本,总体的阶原点矩记为,样本原点阶矩记为,证明：是的无偏估计量.证明:是总体的一个样本,即与同分布,因此.即.例1.3设总体的均值和方差都存在,证明：未修正样本方差不是的无偏估计量.254证明:在第六章第二节中，我们证明了，因此，修正的样本方差是的无偏估计量，也就是说不是的无偏估计量.我们以后一般取作为的估计量.例1.4设总体,是的一个样本,为样本方差,,证明：是参数的无偏估计量.证明:易见,因此，估计量是的无偏估计.2.有效性同一个参数可以有多个无偏估计量,那么用哪一个为好呢?设参数有两个无偏估计量和,在样本
6、容量相同的情况下,的观测值都集中在的真值附近,而的观测值较远离的真值,即的方差较的方差小,我们认为较好,由此有如下的定义:定义1.2设和都是参数的无偏估计量,若对任意,都有（1.2）且至少存在一个使得上式中的不等号成立,则称较有效.254例1.5设是总体的一个样本,的均值和方差都存在,且,记,.易见,,.因此,这些估计量都是的无偏估计量.由于,从而最有效.3.一致性无偏性和有效性都是在假设样本容量固定的条件下讨论的.由于估计量是样本的函数,它依赖样本容量,自然地,我们希望一个好的估计量,当越来越大时,它与参数的真值几乎一致,这就是估计量的
7、一致性或称之为相合性.定义1.3设为参数的一个估计量,为样本容量,如果对任意，依概率收敛于,即对任意,有(1.3)则称为参数的一致估计量.例1.6设总体的均值和方差都存在,证明:样本均值是的一致估计量.证明:由切比雪夫大数定律可知,对任意,有254因此，是的一致估计量.例1.7设总体,是总体的一个样本,证明:样本方差是的一致估计量.证明:由于,有,因此,.由切比雪夫不等式可知,对任意,有.这样,即,是的一致估计量.§2矩估计与最大似然估计本节我们介绍两种常用的构造估计量的方法,即矩估计法和最大似然估计法.2.1矩估计法许多总体的未知参数与
8、总体矩之间存在着函数关系,如在泊松总体中,它的参数就是总体的一阶矩,又如在正态总体254中.若总体矩存在,我们很自然地想到用样本矩来估计相应的总体矩,从而可以获得未知参数的估计量,这种方法称之
